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Suite géométrique

Posté par
Examaths
03-10-21 à 16:17

Bonjour !
Je suis nouveau ici,

J'ai un DM de maths et je bloque sur 2 questions dont 1 qui m'empêche de faire toute la suite de l'exercice...

Voici le sujet :

On imagine un échange de populations entre 2 villes A et B à partir d'une année initiales tel que chaque année la ville A conserve 70% de sa population et à 15% de population de la ville B. On admet que la population initiale de A est de 0.4 unité et que la population totale des 2 villes reste constante égale à 1 unité.
n étant un entier naturel, on note An la population de la ville A au bout de n années et Bn celle de la ville B.


2) Montrer que pour tout entier naturel n, A(n+1) = 0.55An + 0.15

3)On considère la suite (Un) définie pour tout n>= 0 par Un= An-1/3

Alors pour la 2 je n'ai pas réussie du tout et pour la 3 j'ai fais ça mais je n'arrive pas à allé jusqu'au bout :

(Un+1) = (An+1)-1/3
                 =0.55An +0.15 - 1/3

Étant donné que je voudrais q(Un) ça voudrait donc dire q(An-1/3)

Mais comment faire... ?

Merci d'avance

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 03-10-21 à 16:21

Bonjour

Peut-on avoir le texte intégral  ? Quelle est la question 1 ?

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 03-10-21 à 16:41

J'ai mis l'intégralité du sujet et pour ce qu'il en est des questions les voici :

1) justifier que la suite de terme général An+Bn est une suite constante dont on donnera la valeur.

Ceux à quoi j'ai répondu :

An+Bn est une suite constante car on nous dit que malgré les échanges de population entre les villes A et B, la population totale des 2 villes reste constante avec pour valeur 1. D'autant plus que les échanges se faisant entre les 2 villes seulement le nombres d'habitants ne change pas.


3)b. Exprimer Un puis An en fonction de n

3)c. En deduir Bn en fonction de n

4) déterminer les limites des suites (An) et (Bn) puis les interpréter pour les villes A et B

5) conjecturez puis justifier le sens de variation de An

6)a.  A l'aide de la calculatrice, déterminer en justifiant au bout de combien d'années la population de la ville A passera sous le seuil de 0.334350 unité.

b. la population de A peut elle être inférieure a 0.333 333 unités.


Voilà pour les question après d'après mes recherches

J'ai trouvé qu'on ajouté 0.09 unité à A chaque année et 0.12 unité à B

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 03-10-21 à 17:03

Oui pour la question 1

Question 2
l'année n+1, la population  de A se compose de 70\,\% de la population de l'année n et de 15\,\% de la population de la ville B
La population de l'année n dans la ville B est 1-A_n

donc A_{n+1}=0,7A_n+0,15(1-A_n)

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 04-10-21 à 15:06

Ahhh mais oui ! Merci beaucoup et du coup pour la 3 je dois utilisé l'expression développer de (An+1) 🤔

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 04-10-21 à 15:22

Vous voulez montrer que la suite (U_n) est une suite géométrique, c'est-à-dire que  U_{n+1}=qU_n

 U_{n+1}=A_{n+1}-\dfrac{1}{3}=0,55A_n+0,15-\dfrac{1}{3}

Mettez  0,55 en facteur

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 04-10-21 à 16:11

Justement je reste bloqué là car je n'arrive pas à "faire partir" le 0.15

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 04-10-21 à 16:19

0,15=\dfrac{0,45}{3}

0,15-\dfrac{1}{3}=\dfrac{0,45-1}{3}

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 04-10-21 à 17:09

Mais du coup je n'ai plus Un=An-1/3 ?

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 04-10-21 à 17:20

U_{n+1}=0,55A_n+ 0,15-\dfrac{1}{3}

 U_{n+1}=0,55An+\dfrac{0,45-1}{3}

Vous auriez pu terminer le calcul  que vaut 0,45-1 ?

Qu'obtient-on si on met 0,55 en facteur ?

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:11

Ah mais oui !! D'accord merci beaucoup !

0,55(An-1/3)

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:21

Oui (U_n) est une suite géométrique de raison 0,55

Donnez le premier terme

Des problèmes sur les autres  questions ?

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:21

Mais du coup pour la suite, trouver Un en fonction de n

Un=0,55n×U0
Pour trouver U0 je fais 0,4-1/3 ?

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:24

Oui gardez au maximum les valeurs exactes \dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{3}

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:24

Si le 1er terme de A0=0.4
Alors U0=11/300
Ça me paraît bizarre non ?...

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:27

\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{6-5}{5\times 3}

Comment trouvez-vous cette valeur ?

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:35

Ah mais oui je me suis trompé de formule j'avais pris Un+1

Donc Un= 0.55n1/15

Et An on nous dit pas si elle est géométrique ou arithmétique donc il faut que je calcule ?

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:40

Elle est ni l'une ni l'autre,  c'est bien pour cela que l'on a introduit la suite (U_n)

Que vaut A_n si U_n=An-\dfrac{1}{3} ?

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:40

Ah ou juste An=0,4×(1/15)n

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:42

Pardon je n'avais pas vu votre dernier message, An=Un+1/3

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:43

Donc An= 0.55n×1/15+1/3

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:45

Et du coup Bn = 1-(0.55n1/15+1/3)

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:46

D'accord

3c ?

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:46

Oui, mais il faut simplifier tout cela

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:53

Bn= 0.55n1/15+2/3

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 16:59

Non, il manque un signe -

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 17:07

Je ne vois pas où... 🤔

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 17:12

1-\dfrac{1}{15}\times (0,55)^n-\dfrac{1}{3}

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 17:28

Ah oui ok je vois merci beaucoup !
J'espère que je ne vous dérange pas... j'avais une autre petite question... pour la 5) j'ai dis que An semble entre décroissante mais pour le prouver je ne sais pas quelle méthode utiliser parce que si je fais An+1-An je pars dans des calcules à rallonge...

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 17:38

Quel problème à rallonge ?

A_{n+1}-A_n=\dfrac{1}{15}(0,55)^{n+1}+\dfrac{1}{3}-\left(\dfrac{1}{15}\times(0,55)^n+\dfrac{1}{3}\right)

A_{n+1}-A_n=\dfrac{1}{15}\times (0,55)^n(0,55-1)

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 17:45

Mais la je fais comment pour montrer que c'est inférieur à 0 je fais la limite ?
Ou sinon j'étais en train de faire par formule de récurrence Un+1<Un c'est bon aussi ?

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 17:51

Vous pouvez, mais c'est bien plus long

0,55-1 est bien un nombre négatif  les autres termes étant positifs   on a bien A_{n+1}\leqslant A_n

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 18:03

Ah mais oui merci effectivement merci beaucoup !
Et bien je vous remercie grandement pour votre aide !! Vraiment merci beaucoup

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 18:06

6 pas de problème  ?
De rien

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 18:42

J'ai juste un problème avec le script...
J'ai fais :

def seuil (s):
      n=0
      while (0.55((0.55**(n))*(1/15)+(1/3))+0.15)>=s:
              n=n+1
      return n

Mais quand j'exécute le scripte et que je rentre 0.334350 la calculatrice affiche 0.33435

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 18:57

Il vaut mieux prendre la relation de récurrence que la forme explicite

A_{n+1}= 0.55A_n + 0.15

Il faut un départ A=0,4

while A \geqslant 0.334350

A reçoit 0,55A+0,15

J'obtiens n=7

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 18:58

Pour l'affichage il faut voir combien de chiffres la calculatrice affiche  et peut-être le changer

Posté par
Examaths
re : Suite géométrique 05-10-21 à 19:05

Normalement pour l'affichage c'est bon mais le programme un peu moins... parce que je suis obligé de rentré 0.334350 dans le programme ?  Je ne peux pas faire une variable ?

Posté par
hekla
re : Suite géométrique 05-10-21 à 19:11

Oui, puisque c'est la valeur qui va permettre  de sortir de la boucle



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