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suite intégrale 95

Posté par
Nelcar 01-05-21 à 10:25

Bonjour,
voici l'exercice 4 (non noté) que j'ai à faire à savoir  :
Soit (In) et (Jn) les suites définies sur * par :
In=10  1/(1+xn) dx    et Jn=10   xn/(1+xn dx
1a) justifier que, pour tout réel x de [0;1] , 1/((1+xn) 1
b) montrer que la suite (In) est majorée par 1
2a) Montrer que, pour n, dans *, 0Jn1/(n+1)
b) en déduire la limite de la suite (Jn)
3a) Calculer, pour tout n de *, In + Jn
b) déterminer la limite de la suite (In)

Voici ce que j'ai fait
1a) si x = 0   on a 1/(+0n)=1
numérateur 1 et le maximum du dénominateur 1 donc 1/(1+xn)1
je ne sais pas trop l'expliquer. MERCI
1b) pour tout, réel x de [0;1], 1/(1+xn1
par positivité de l'intégration 10 1/(1+xn) dx 1 ou encore In1
la suite In est donc décroissante et minorée par 1
pareil pas sûr de moi. MERCI
2a) pour n dans * et pour x dans [0;1], xn0 et 1+xn0 donc xn/('1+xn)0  ainsi Jn0
De plus 1+xn1 donc xn/(1+xn)xn donc
10 xn/(1+xn) dx 10 xn dx
Or 10 xn dx= [xn+1/(n+1)]10=1/(n+1) donc pour n dans *, 0Jn1/(n+1)
2b) or lim 1/(n+1)=0 donc d'après le théorème des gendarmes : lim Jn = 0
n+infini                                                            n+infini
3a) In +Jn
10 1/(1+xn) dx+ 10 xn/(1+xn)dx

10 (1+xn)/(1+xn) dx (par linéarité de l'intégration
je trouve 1
3b) on avait au-dessus 1+xn1 donc 1/(1+xn)1 donc
10 1/(1+xn) dx 10 1 dx=[x]10=1

et là je n'arrive pas à faire la limite de In

Je me suis aidée beaucoup du livre mais dur pour moi.

MERCI de me dire mes erreurs et de m'expliquer

Posté par
heklare : suite intégrale 95 01-05-21 à 10:43

Toujours le même principe : travaillez avec des inégalités

0\leqslant x\leqslant 1

0\leqslant x^n\leqslant 1

1\leqslant 1+x^n\leqslant 2 et passage à l'inverse
1 b  il faudrait faire attention vous montrez qu'elle est majorée par 1 et vous dites minorée

Vous n'avez pas montré qu'elle serait décroissante.

Jn on peut faire les deux côtés en même temps

Vous avez montré que I_n+J_n=1  et que \lim_{n\to +\infty}Jn=0

Que peut-on alors dire de la limite de I_n

Posté par
Nelcarre : suite intégrale 95 01-05-21 à 10:53

Bonjour hekla,

je suis à nouveau perdue

oui j'ai fait une erreur c'est bien majorée de 1
donc la limite de In est 1

Pouvez-vous me faire la correction entièrement car là je ne sais plus ce qui est bon ou pas

Un GRAND MERCI

Posté par
heklare : suite intégrale 95 01-05-21 à 11:07

On inverse
Vous faites une rédaction et je ferais la mienne après.

Posté par
Nelcarre : suite intégrale 95 01-05-21 à 11:19

OK
donc voici ce que j'ai fait :
1a) si x = 0   on a 1/(+0n)=1
0x1
0xn1
01+xn2
1/11/(1+xn1/2
numérateur 1 et le maximum du dénominateur 1 donc 1/(1+xn)1

1b) pour tout, réel x de [0;1], 1/(1+xn1
par positivité de l'intégration 10 1/(1+xn) dx 1 ou encore In1
la suite In est donc  majorée  par 1


2a) pour n dans * et pour x dans [0;1], xn0 et 1+xn0 donc xn/('1+xn)0  ainsi Jn0
De plus 1+xn1 donc xn/(1+xn)xn donc
10 xn/(1+xn) dx 10 xn dx
Or 10 xn dx= [xn+1/(n+1)]10=1/(n+1) donc pour n dans *, 0Jn1/(n+1)
2b) or lim 1/(n+1)=0 donc d'après le théorème des gendarmes : lim Jn = 0
n+infini                                                            n+infini
3a) In +Jn
10 1/(1+xn) dx+ 10 xn/(1+xn)dx

10 (1+xn)/(1+xn) dx (par linéarité de l'intégration
je trouve 1
3b) on avait au-dessus 1+xn1 donc 1/(1+xn)1 donc
10 1/(1+xn) dx 10 1 dx=[x]10=1
comme In+ Jn=1
lim In = 1
n+ infini

MERCI BEAUCOUP

Posté par
heklare : suite intégrale 95 01-05-21 à 11:27

Je la tape à part  et je la poste un peu plus tard

Posté par
Nelcarre : suite intégrale 95 01-05-21 à 11:31

ok

MERCI BEAUCOUP

Posté par
heklare : suite intégrale 95 01-05-21 à 12:18

Soient \left(I_n\right)$ et $\left(J_n\right) les suites définies sur \N^* par :

\displaystyle I_n=\int_0^1  \dfrac{1}{(1+x^n)}\mathrm{d}x  \qquad   \text{et } \qquad  J_n=\int_0^1  \dfrac{x^n}{1+x^n}\mathrm{d}x

1 a) Justifions que, pour tout réel x $ de $ [0~;~1] , \dfrac{1}{1+x^n}\leqslant 1

0\leqslant x\leqslant 1 \qquad 0\leqslant x^n\leqslant 1\qquad 1\leqslant 1+x^n\leqslant  2

On passe à l'inverse

\dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{1}{1+x^n}\leqslant 1.


1 b)Montrons que \left(I_n\right) est majorée par 1
Intégrons les expressions des inégalités précédentes

\displaystyle I_n\leqslant \int_0^1\mathrm{d}x

Calculons  l'intégrale

\displaystyle \int_0^1\mathrm{d}x=\left[x\right]_0^1 =1

  D'où I_n\leqslant 1. La suite est majorée par 1

2a) Montrons que, pour n\in \N^*, 0\leqslant J_n\leqslant \dfrac{1}{(n+1)}

D'après la question précédente 0\leqslant \dfrac{1}{1+x^n}\leqslant 1

En multipliant par x^n, réel strictement positif, 0\leqslant \dfrac{x^n}{1+x^n}\leqslant x^n

En intégrant

\displaystyle \int_0^1 0\mathrm{d}x\leqslant \int_0^1\dfrac{x^n}{1+x^n}\mathrm{d}x\leqslant \int_0^1 x^n\mathrm{d}x

\displaystyle \int_0^1 x^n\mathrm{d}x= \left[\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}\right]_0^1=\dfrac{1}{n+1}(1-0)

Par conséquent nous avons montré que 0\leqslant J_n\leqslant \dfrac{1}{n+1}.

b) Déterminons la limite de la suite \left(J_n\right)

\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n+1}=0    Il en résulte que la suite \left(J_n\right) est encadrée par deux suites tendant vers 0, icelle tend vers 0 d'après le « théorème des gendarmes »

\displaystyle \lim_{n\to +\infty}J_n=0


3 a) Calculons, pour tout n \in \N^*, I_n + J_n

En utilisant la linéarité des intégrales

\displaystyle I_n+J_n= \int_0^1\dfrac{1}{1+x^n}\mathrm{d}x+\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x^n}\mathrm{d}x= \int_0^1\dfrac{1+x^n}{1+x^n}\mathrm{d}x=\int_0^1\mathrm{d}x=1

b) déterminons la limite de la suite \left(I_n\right)

\displaystyle \lim_{n\to +\infty}I_n+J_n=1=\lim_{n\to +\infty}I_n+\lim_{n\to +\infty}J_n.

Or nous avons montré que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}J_n=0

Par conséquent \displaystyle \lim_{n\to +\infty}I_n=1

Posté par
Nelcarre : suite intégrale 95 01-05-21 à 15:06

Merci beaucoup Hekla,

je vais y regarder

Encore un GRAND MERCI

Posté par
heklare : suite intégrale 95 01-05-21 à 20:56

Toujours en manque de confiance, je n'ai pas vu d'erreurs, Ce sont plutôt des maladresses de rédaction ou des imprécisions mais globalement c'était correct

Posté par
Nelcarre : suite intégrale 95 02-05-21 à 17:51

Bonjour Hekla,

Oui mais je me suis beaucoup aidée du livre, donc toute seule, je n'y serais pas arrivé.

MERCI encore pour votre aide qui m'est très importante

Posté par
heklare : suite intégrale 95 02-05-21 à 18:02

Bonjour Nelcar

Qu'importe, le principal étant que vous ayez résolu le problème.


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