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suite intégration 94

Posté par
Nelcar 30-04-21 à 20:22

bonsoir
autre exercice à faire à savoir :

soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n, par

un=10   (xn)/(1+x) dx
1) cacluler u0 = 10   1/(1+x)  dx
2a) démontrer que, pour tout entier naturel n,
un+1 + un=1/(n+1)
b) en déduire la valeur exact de u1
3) démontrer que la suite (un) est croissante

pour 1) j'ai trouvé u0= ln(2)
2) je suis arrivée à 10 xn   dx
mais après je n'y arrive plus

et après je ne sais plus faire

MERCI

Posté par
heklare : suite intégration 94 30-04-21 à 20:51

\dfrac{1}{1+x} est de la forme \dfrac{u'}{u}  une primitive est alors \ln u

\int _0^1 \dfrac{1}{x+1}\mathrm{d}x=\left[\ln (1+x)\right]_0^1= \ln 2

une primitive de   x^n   est \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}

u_{n+1}+u_n=\int_0^1x^n\mathrm{d}x=\left[\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}\right]_0^1= \dfrac{1}{n+1}(1-0)=\dfrac{1}{n+1}

Posté par
Nelcarre : suite intégration 94 30-04-21 à 21:07

ok

et comment faire pour trouver u1 ?

et comment faire pour montrer que le suite est croissante

MERCI

Posté par
heklare : suite intégration 94 30-04-21 à 21:39

On applique ce que l'on vient de démontrer

u_{n+1}+u_n=\dfrac{1}{n+1}  à n=0

u_1+u_0=\dfrac{1}{0+1}=1

u_{n+1}-u_n= \int_0^1\dfrac{x^{n+1}}{1+x}\mathrm{d}x- \int_0^1\dfrac{x^{n}}{1+x}\mathrm{d}x=  \int_0^1\dfrac{x^{n+1}}{1+x}-\dfrac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x= \int_0^1\dfrac{x^{n}(x-1)}{1+x}\mathrm{d}x

Sur [0~;~1]\quad x-1 <0

Posté par
Nelcarre : suite intégration 94 30-04-21 à 21:57

il faut calculer u1   et démontrer que la suite un est croissante

pourquoi calculez vous u n+1  - un

MERCI

Posté par
heklare : suite intégration 94 30-04-21 à 22:22

N'est-ce pas ainsi que l'on montre le sens de variation des suites

Le problème est que je la trouve décroissante

si u_1+u_0=1 et que u_0= \ln 2 on doit bien pouvoir trouver u_1

Posté par
Nelcarre : suite intégration 94 01-05-21 à 09:05

Bonjour Hekla,

donc j'ai u1= 1 - ln2
en effet la suite est décroissante (peut-être encore une erreur du livre) ?

MERCI

Posté par
heklare : suite intégration 94 01-05-21 à 10:05

Bonjour Nelcar

Pour u_1 je trouve bien cela

Si l'on regarde en valeurs approchées  u_0\approx 0,6931,\quad u_1\approx 0,3069

on ne peut pas dire que cela croît beaucoup

Quant au livre, il faut penser que vous êtes aussi les cobayes. C'est la première édition de ce manuel.
Suivant le temps disponible, la relecture peut avoir été plus ou moins bien faite.

Posté par
heklare : suite intégration 94 01-05-21 à 10:17

Remarque : le texte en ligne donne bien décroissante

Posté par
Nelcarre : suite intégration 94 01-05-21 à 10:28

ah oui hekla, je viens de vérifier, c'est bien une erreur de ma part.
Mille excuses.

MERCI beaucoup

Posté par
heklare : suite intégration 94 01-05-21 à 10:49

Ne tenez pour certain que ce qui peut être démontré (Newton)

Donc on peut raconter n'importe quoi mais si vous démontrez telle propriété, d'autres pourront dire le contraire  c'est la démonstration qui prime
C'est plus gênant dans un livre  puisque cela incite à montre une propriété fausse.

  

Posté par
Nelcarre : suite intégration 94 01-05-21 à 10:57

OK

MERCI


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