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Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 18:31

Solay : avec un < elle sera strictement croissante mais ce n'est pas nécessaire


soit v_k \ge k + 1 et v_{k + 1} = v_k \ge k + 1

soit k \le v_k < k + 1  et v_{k + 1} \ge k + 1 > v_k

mais attention : même si v_{k + 1} = v_k ça correspond à deux termes distincts de la suite (u_n) correspondant aux indices distincts  n_k $ et $ n_{k + 1}

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 18:38

En fait ca tombe bien, la prochaine question me demandait de montrer que si la suite est non majorée alors elle admet une sous-suite croissante

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 18:40

il aurait été bien de donner l'énoncé exact et complet dès le début !!!

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 18:42

et ça veut donc dire qu'on peut se passer du max alors ...

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 18:44

C'était deux questions complètement  distinctes !

Si ca te dérange pas, tu peux me donner la démonstration sans utiliser le max ?

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 18:59

ouais finalement mon idée de départ était bonne mais mal traduite :

hypothèse (H) : la suite (u_n) n'est pas majorée

soit encore par définition : \forall m \in \N  :  \exists n \in \N  /  u_n \ge m

(H) => \exists n  /  u_n \ge 0    (0)  (sinon la suite est majorée par 0)

soit n_0 le plus petit rang  vérifiant (0)   alors je pose v_0 = u_{n_0}

(H) => \exists n  /  u_n \ge 1    (1)  (sinon la suite est majorée par 1)

soit n_1 le plus petit rang vérifiant (1) et supérieur strictement à \red n_0     alors je pose v_1 = u_{n_1}}

...

(H) => \exists n  /  u_n \ge m    (m)  (sinon la suite est majorée par m)

soit n_m le plus petit rang vérifiant (m) et supérieur strictement à \red n_{m - 1}     alors je pose v_m = u_{n_m}}



maintenant à toi de justifier l'existence de ces rangs en justifiant ce qui est en rouge !!

et cette fois la sous-suite n'est pas nécessairement croissante mais sa limite est bien +oo

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 19:09

Grand MERCI !


J'ai l'impression que c'est beaucoup plus facile ici, ca ne montre pas la croissance mais au moins la divergence de la sous-suite !

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 19:24

en fait c'est ce que j'avais en tête dès le départ ... mais :

1/ comme je l'ai dit (et redit) je me suis mélangé dans mes quantificateurs et mes définitions

et

2/ se sont rajoutés les exemples de sylvieg qui ne sont finalement pas des contre-exemples mais des exemples très riches mais m'ont perturbés à cause de .... mes erreurs !!

l'exemple u_n = (-1)^n permet de bien comprendre la démo

mais tu dois maintenant la finaliser avec rigueur car j'ai affirmé des choses et tu dois les prouver !!!

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 19:29

Bien sur !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 20:41

Je n'ai pas eu de réponse à

Citation :
Un petit détail :
Ne faut-il pas un \; > \; plutôt qu'un \; , dans \; u_{n_{k + 1}} \ge \max (u_{n_k} = v_k, k + 1) \; pour que la suite des (nk) soit strictement croissante ?
Je parle de la suite des indices qui doit être strictement croissante.
Autrment dit, on doit avoir nk+1 > nk > .... > n2 > n1 > n0.

Il y a trois suites dans cette histoire: celle des u, celle des v et celle des n.

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 21:11

je ne sai spas si c'est à moi que tu t'adresses mais j'avais répondu à 18h25 mais pas précisément à ta demande  ...

cependant :

carpediem @ 21-03-2021 à 11:52

parce que la condition n_{p + 1} > n_p assure la stricte croissance des indices ...

et l'existence de u_{n_{p + 1}} est assurée par l'hypothèse (H) mais il faut le montrer clairement ...

et
carpediem @ 21-03-2021 à 12:14


carpediem @ 21-03-2021 à 09:16

sens direct : soit (u_n) une suite non majorée (hypothèse H) :  alors (H) \iff \forall m \in \R  \exists n \in \N  :  u_n \ge m

construisons donc une sous-suite (v_n) qui tend vers +oo

d'après H  \exists n_0  /   u_{n_0} \ge 0    posons v_0 = u_{n_0}

d'après H \exists n_1 > n_0  /   u_{n_1} \ge \max(u_{n_0}, 1)   posons v_1 = u_{n_1}


supposons v_k  construit, donc v_k \ge \max (v_{k - 1}, k)

d'après (H)  \exists n_{k + 1} > n_k  /  u_{n_{k + 1}} \ge \max (u_{n_k} = v_k, k + 1)

et on pose v_{k + 1} = u_{n_{k + 1}}
l'existence des rangs successifs  utilise une inégalité stricte

deux termes consécutifs de la suite (v_n) peuvent être égaux mais leur rang dans la suite (u_n) sont bien distincts et croissants

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 22:06

Je m'adressais à vous deux.
Mais je me suis aussi mélangée les pinceaux.
Avec \;  \exists n_{k + 1} > n_k \; écrit devant, inutile de mettre une inégalité stricte.

Je pense que j'avais une autre idée en tête, en améliorant celle de Solay à partir de

Citation :
-la suite étant non majoré, on a un n1 ∈ N tel que u_{n_1}%3Emax(u_0,u_1,\cdots%20,u_{n_0}) , ainsi n1 ∉ (0,1, . . . , n0 ) et donc n1 > n0 et Un1>Un0.
et
Citation :
∃ nk+1 ,u_{n_{k+1}}%3Emax(u_0,u_1,\cdots%20,u_{n_k}) ainsi nk+1 ∉ (0,1, . . . , nk) et donc nk+1 > nk et U_{n_{k+1}}> U_{n_k}.

remplacé par

Citation :
-la suite étant non majoré, on a un n1 ∈ N tel que u_{n_1}%3Emax(u_0,u_1,\cdots%20,u_{n_0},1) , ainsi n1 ∉ (0,1, . . . , n0 ) et donc n1 > n0 et u_{n_1} \geq 1 .
et
Citation :
∃ nk+1 ,u_{n_{k+1}}%3Emax(u_0,u_1,\cdots%20,u_{n_k},k+1) ainsi nk+1 ∉ (0,1, . . . , nk) et donc nk+1 > nk et U_{n_{k+1}} \geq k+1.

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