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Suite non majorée

Posté par
Solay
20-03-21 à 12:56

Bonjour,

Je dois montrer qu'une suite est non majorée si et seulement si elle possède une sous-suite qui tend vers +infini.  

Réponse :

La suite est non majorée : pour tout A ∈ R, il existe n ∈ N, Un > A.
On pose A = x1 cet entier. Comme la suite est non majorée on peut trouver un x2 tel que x2 > x1 et ainsi de suite.. xn > xn-1

Cependant, je rencontre un problème lors de la syntaxe, je ne sais pas comment écrire que je suis en train de "construire" une sous-suite qui prend comme termes : x1, x2., …, xn. En gros la rédaction me pose problème.

Merci d'avance pour votre aide.


[ Je ne pourrais pas répondre aujourd'hui ]

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 20-03-21 à 13:24

salut

tout d'abord si la suite possède une sous-suite non majorée alrs la suite n'est pas majorée

je te laisse rédiger proprement ce sens ...

sens direct : soit (u_n) une suite non majorée (hypothèse H) :

construisons une sous-suite (v_n) qui tend vers +oo

d'après H  \exists n_0  /   \forall p \ge n  :  u_p \ge 0

posons v_0 = u_{n_0}

d'après H \exists n_1 > n_0  /  \forall p \ge n_1  :  u_p \ge 1

posons v_1 = u_{n_1}

...

à toi de poursuivre en justifiant pourquoi je peux affirmer ce que j'affirme ...

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 06:41

Bonjour,


carpediem @ 20-03-2021 à 13:24


salut

construisons une sous-suite (v_n) qui tend vers +oo

d'après H  \exists n_0  /   \forall p \ge n  :  u_p \ge 0 [ J'ai l'impression que vous assumez ici que Un est croissante, ce ne pas forcement le cas .

posons v_0 = u_{n_0}

d'après H \exists n_1 > n_0  /  \forall p \ge n_1  :  u_p \ge 1

posons v_1 = u_{n_1}

...

à toi de poursuivre en justifiant pourquoi je peux affirmer ce que j'affirme ...


Construisons une sous-suite Vn qui tend vers +infini :

D'après H ∃ n0 tel que Un0 >= 0 [ On peut affirmer cela par définition d'une suite non majorée ]

Posons v0 = Un0

D'après H ∃ n1 tel que Un1 >= 1 [Idem]

Posons v1 = Un1

....
D'après H ∃ nk tel que Unk >= k
Posons vk = Unk

Par construction, on obtient une sous-suite pas forcément croissante mais qui tend vers l'infini puisque ∀ k ∈ N,  vk >=  k.

J'ai l'impression qu'il faudrait partir par des inégalités strictes plutôt que larges non?

Merci pour ton temps :]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 07:22

Bonjour,
Je me permets de répondre à Solay en l'absence de carpediem qui reprendra la main dès qu'il voudra.
La suite définie par \; un = (-1)nn \; n'est pas majorée.
Mais elle ne vérifie pas

Citation :
 \exists n_0  /   \forall p \ge n  :  u_p \ge 0
Par ailleurs, il me semble que carpediem voulait écrire \; \forall p \ge n_0 .

Je vais commenter ta démarche dans un autre message.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 07:23

Es-tu certain que la suite que tu construis est bien une sous-suite ?

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 07:33



C'est la première fois que je dois construire une sous-suite donc il se peut que j'écrives du charabia..

En prenant l'exemple : (-1)^n  * n, le rang n2 n'existe pas non ? On aura jamais pour tout p >= n2, Un2 >=2.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 07:49

Citation :
On aura jamais pour tout p >= n2, Un2 >=2.
Ce n'est pas ce que tu avais écrit avec :
Citation :
∃ nk tel que Unk >= k
Le problème dans ta démarche, c'est que les \; nk \; peuvent ne pas être croissants.

Il faut justifier que tu peux trouver \; n2 \; avec \; n2 > n1 \; et \; un2 > 2 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 07:54

De même pour n1 : Il faut trouver n1 avec n1 > n0.
Qu'as-tu comme définition de sous-suite ?

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 08:02

Ah oui je vois, j'essaye et je te donne ma réponse le plus vite possible.

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 08:04

Une extraction est une application f : N-->N qui est strictement croissante.
Une sous suite de Un est une suite de la forme Uf(n) avec f une extraction.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 08:14

Oui :

Citation :
strictement croissante.
C'est pour ça qu'il faut \; n2 > n1 > n0

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 08:16

Oui mais c'est assez compliqué  de justifier qu'on peut trouver un n1 > n0 :[

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 08:27

C'est sans doute ce que sous entendait carpediem avec

Citation :
à toi de poursuivre en justifiant pourquoi je peux affirmer ce que j'affirme ...
Je te laisse checher un peu.
Il reviendra peut-être entre temps

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 08:28

chercher

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 08:58

Ok je recapitule : Il faut prouver qu'il existe un n1 > n0 telle que Un1 >=1 afin de compléter la démonstration.

-la suite étant non majoré, on a un n1 ∈ N  tel que u_{n_1}%3Emax(u_0,u_1,\cdots%20,u_{n_0})   , ainsi n1 ∉ (0,1, . . . , n0 ) et donc n1 > n0 et Un1>Un0.

Sauf erreur..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 09:06

Pas le temps de regarder en détail ; mais ça semble tenir la route.
A faire pour nk aussi.

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 09:16

merci Sylvieg d'être intervenu !!

effectivement je me suis mélangé les pinceaux entre les définitions "être non majorée" "avoir une limite infinie" !!

je reprends  donc :

carpediem @ 20-03-2021 à 13:24

salut

tout d'abord si la suite possède une sous-suite non majorée de limite infinie alors la suite n'est pas majorée

je te laisse rédiger proprement ce sens ...

sens direct : soit (u_n) une suite non majorée (hypothèse H) :  alors (H) \iff \forall m \in \R  \exists n \in \N  :  u_n \ge m

construisons donc une sous-suite (v_n) qui tend vers +oo

d'après H  \exists n_0  /   u_{n_0} \ge 0    posons v_0 = u_{n_0}

d'après H \exists n_1 > n_0  /   u_{n_1} \ge 1   posons v_1 = u_{n_1}

...

à toi de poursuivre en justifiant pourquoi je peux affirmer ce que j'affirme ...
l'important étant de justifier que une fois v_m = u_{n_m} construit on peut trouver n_{m + 1} > n_m  tel que u_{n_{m + 1}} > m + 1

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 09:33


Construisons une sous-suite Vn qui tend vers +infini :  

D'après H ∃ n0 tel que U_{n_0}> 0

Posons v0 = Un_{n_0}

D'après H  ∃ n1 ∈ N  tel que u_{n_1}%3Emax(u_0,u_1,\cdots%20,u_{n_0})   , ainsi n1 ∉ (0,1, . . . , n0 ) et donc n1 > n0 et U_{n_1} >U_{n_0}.
Par conséquent ∃ n1 >n0 ,  U_{n_1} >1.


Posons v1 = U_{n_1}

....
D'après H ∃ nk+1 ,u_{n_{k+1}}%3Emax(u_0,u_1,\cdots%20,u_{n_k}) ainsi nk+1 ∉ (0,1, . . . , nk) et donc nk+1 > nk et U_{n_{k+1}}> U_{n_k}.
Par conséquent ∃ nk+1 >nk ,  U_{n_k} >k


Par construction, on obtient une sous-suite qui tend vers l'infini puisque ∀ k ∈ N,  Uvk >  k.

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 10:46

C'est juste?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 11:13

Je ne vois pas pourquoi " U_{n_1} >1. ".

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 11:17

Il est nécessaire que ca soit une inégalité large ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 11:28

Même large, avec ce que tu écris avant, ce n'est pas justifié.

Contre exemple :
un = (n-100)/100
u120 > 0.
u121 est supérieur à tous les un avec n 120.
Mais u121 < 1.

Ou aussi vn = (-1)n(n-100)/100
v120 > 0.
v122 est supérieur à tous les vn avec n 120.
Mais v122 < 1.

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 11:32

et cette histoire de max est inutile !!! vu comment je définis l'indice du terme suivant de la sous-suite (v_n) ...

enfin quelle est la définition d'une suite majorée ?

tu pourras alors répondre à Sylvieg correctement et justifier ce que je dis ...

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 11:35

attention Sylvieg : l'indice n_{k + 1} de Solay n'est pas le successeur de n_k ...

il doit seulement vérifier n_{k + 1} > n_k et il faut justifier son existence

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 11:37

@carpediem,
Faire intervenir un max permet d'assurer assez facilement la croissance des indices.
Pourquoi le refuser ?

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 11:39

Je suis perdu

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 11:39

Messages croisés
Et je ne vais plus être très disponible avant la fin d'après midi.

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 11:52

parce que la condition n_{p + 1} > n_p assure la stricte croissance des indices ...

et l'existence de u_{n_{p + 1}} est assurée par l'hypothèse (H) mais il faut le montrer clairement ...

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 11:59

Une autre indication serait le bienvenu :]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 12:07

Je complète mon message précédent de 11h37 :
Faire intervenir un max peut permettre d'assurer en même temps la croissance des indices et une limite +.
A condition de rajouter un petit quelque chose dans le max.

@carpediem,
Tu avais amorcé autre chose dans ta 1ère réponse à Solay.
Je vous laisse poursuivre tous les deux jusqu'à une démonstration complète dans l'une ou l'autre des pistes.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 12:08

Messages croisé à nouveau.
Cependant, j'ai donné un petit indice pour une des pistes.

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 12:11

Sylvieg @ 21-03-2021 à 12:07

Je complète mon message précédent  de 11h37 :
A condition de rajouter un petit quelque chose dans le max..


Comme cela :

 u_{n_1}%3Emax(1,u_0,u_1,\cdots%20,u_{n_0})

  u_{n_{k+1}}%3Emax(k,u_0,u_1,\cdots%20,u_{n_k})

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 12:14

mais je suis d'accord, finalement il y a peut-être un os :

carpediem @ 21-03-2021 à 09:16

sens direct : soit (u_n) une suite non majorée (hypothèse H) :  alors (H) \iff \forall m \in \R  \exists n \in \N  :  u_n \ge m

construisons donc une sous-suite (v_n) qui tend vers +oo

d'après H  \exists n_0  /   u_{n_0} \ge 0    posons v_0 = u_{n_0}

d'après H \exists n_1 > n_0  /   u_{n_1} \ge \max(u_{n_0}, 1)   posons v_1 = u_{n_1}


supposons v_k  construit, donc v_k \ge \max (v_{k - 1}, k)

d'après (H)  \exists n_{k + 1} > n_k  /  u_{n_{k + 1}} \ge \max (u_{n_k} = v_k, k + 1)

et on pose v_{k + 1} = u_{n_{k + 1}}

REM : on pourrait aussi prendre le min!!

prendre le max assure que la suite (v_n) est croissante et vérifie \forall p \ge n  :  v_p \ge n

prendre le min assure que la suite (v_n) vérifie \forall p \ge n  :  v_p \ge n - 1

ce qui est la définition d'une suite tendant ves +oo

en espérant ne plus avoir fait d'erreur !!

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 12:18

Sylvieg : ma première idée est fausse ... voir à 9h16

entretemps je vois que nous sommes arrivé à la même idée du max ... mais à placer au bon endroit !!

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 12:19

carpediem @ 21-03-2021 à 12:14


d'après H \exists n_1 > n_0  /   u_{n_1} \ge \max(u_{n_0}, 1)   posons v_1 = u_{n_1}


Comment la définition de la majoration justifie cela ?

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 12:25

ce n'est pas la définition de la majoration mais de la non-majoration !!!

1/ quelle est la définition d'une suite non majorée ?

2/ quelle est la définition d'une suite majorée ?

3/ en déduire une définition équivalente (qui servira ici)

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 12:35

J'ai oublie d'écrire le non . . .

Une suite non majorée : Pour tout A  ∈ R, Il existe n  ∈ N, tel que Un >= A

Suite majorée : Il existe B ∈  R , tel que pour tout n ∈ N, Un <= B.

  Je ne vois une autre définition :[

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 12:54

ok alors de la définition d'une suite majorée tu peux en déduire encore la définition :

\forall n \in \N  \exists m \in \R  /  \forall k \ge n  :  u_n \le m

et on en déduit donc une autre définition d'une suite non majorée :

\forall n \in \N  \forall m \in \R  \exists k \ge n  :  u_k \ge m

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 13:03

C'est une nouvelle définition pour moi, il faut prouver l'existence de ce k non ? Pourquoi k serait plus grand que n?

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 13:14

Je dois m'absenter pour une demi-heure :[
Merci beacoup pour votre temps carpediem et Sylvieg

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 13:44

De retour :]

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 13:57

ce pourrait être des définitions ... on dira plutôt que c'est des conséquences ...

en tout cas elles justifient :

carpediem @ 21-03-2021 à 12:14

supposons v_k  construit, donc v_k \ge \max (v_{k - 1}, k)

d'après (H)  \exists n_{k + 1} > n_k  /  u_{n_{k + 1}} \ge \max (u_{n_k} = v_k, k + 1)

et on pose v_{k + 1} = u_{n_{k + 1}}

en espérant ne plus avoir fait d'erreur !!

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 14:21

Cerveau qui bouille. . .

1- Il faudrait que je justifie la conséquence que tu me donnes.
2- v_k \ge \max (v_{k - 1}, k), Je ne comprends pas pourquoi.

Les questions peuvent sembler bêtes mais je préfère les demander maintenant avant l'examen

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 14:44

1/ je te laisse réfléchir

2/ par définition d'une suite non majorée !!!

si u_{n_{k + 1}} n'existe pas alors la suite (u_n) est majorée car :

l'ensemble des termes {u_0, u_1, ..., u_n_{k}} est fini donc majoré

et si l'ensemble de tous les autres termes sont majorés par k + 1 alors toute la suite (u_n) est majorée ... ce qui est contradictoire avec l'hypothèse (H)

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 15:39

Pour répondre a ma première remarque :

Pour tout n ∈ N, pour tout m ∈ R, il existe k >= n , Uk >= m.

En prenant A = max [ U0, U1, . . . , Un ], par définition de la non majoration on a :

Il existe n0 ∈ N, Un0 >A >= Un.  Ok.

Pour 2 : C'est bon simple usage de la définition.

A la fin on obtient donc :

\exists n_{k + 1} > n_k  /  u_{n_{k + 1}} \ge \max (u_{n_k} = v_k, k + 1)

Très bien grand merci pour ta patience carpediem, j'espère que je ferais mieux quand je serais a la prepa

Merci aussi a toi  Sylvieg :]

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 16:06

oui certainement ... et tu es sur la bonne voie comme le montre tes efforts ton implication !!

l'exercice n'est pas si facile que ça : il faut bien maitriser et manipuler les définitions ...

et comme tu l'as vu dès mon premier msg j'ai dit des con... justement parce que je me suis mélangé les définitions

quant aux deux conséquences/propriétés que j'ai données il sera bon pour toi de les revoir en détail et de bien voir qu'elle caractérisent respectivement une suite majorée / non majorée

et qu'en fait les définitions que tu connais sont dans chaque cas un cas particulier de ces conséquences

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 16:53

Bien reçu ! : )

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite non majorée 21-03-21 à 18:00

De retour.
Merci carpediem d'avoir pris le relais et accepté l'histoire du max.

Un petit détail :
Ne faut-il pas un \; > \; plutôt qu'un \; , dans \; u_{n_{k + 1}} \ge \max (u_{n_k} = v_k, k + 1) \; pour que la suite des (nk) soit strictement croissante ?

Posté par
Solay
re : Suite non majorée 21-03-21 à 18:21

Donc on a montré  que non seulement la suite diverge vers + infini, mais elle est aussi
strictement croissante ?

Posté par
carpediem
re : Suite non majorée 21-03-21 à 18:25

la croissance suffit car la suite (n) est strictement croissante donc il est certain que notre sous-suite dépasse n à partir d'un certain rang ...

et même plus précisément par définition du max on a toujours v_n \ge n

et la croissance seule suffit pour la suite (v_n) pour conclure qu'elle tend vers +oo

car on a alors : \forall n  :  v_n \ge n
 \\ \forall n  : v_n \le v_{n + 1}

pour l'histoire du max merci à toi car ce sont tes contre-exemples qui m'ont permis de me corriger ...

(et on oublie mon premier post qui donnait certes l'idée de construction mais où j'avais mélangé toutes les définitions avec mes quantificateurs)

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