Bonjour,
Je dois montrer qu'une suite est non majorée si et seulement si elle possède une sous-suite qui tend vers +infini.
Réponse :
La suite est non majorée : pour tout A ∈ R, il existe n ∈ N, Un > A.
On pose A = x1 cet entier. Comme la suite est non majorée on peut trouver un x2 tel que x2 > x1 et ainsi de suite.. xn > xn-1
Cependant, je rencontre un problème lors de la syntaxe, je ne sais pas comment écrire que je suis en train de "construire" une sous-suite qui prend comme termes : x1, x2., …, xn. En gros la rédaction me pose problème.
Merci d'avance pour votre aide.
[ Je ne pourrais pas répondre aujourd'hui ]
salut
tout d'abord si la suite possède une sous-suite non majorée alrs la suite n'est pas majorée
je te laisse rédiger proprement ce sens ...
sens direct : soit (u_n) une suite non majorée (hypothèse H) :
construisons une sous-suite (v_n) qui tend vers +oo
d'après H
posons
d'après H
posons
...
à toi de poursuivre en justifiant pourquoi je peux affirmer ce que j'affirme ...
Bonjour,
Bonjour,
Je me permets de répondre à Solay en l'absence de carpediem qui reprendra la main dès qu'il voudra.
La suite définie par un = (-1)nn n'est pas majorée.
Mais elle ne vérifie pas
C'est la première fois que je dois construire une sous-suite donc il se peut que j'écrives du charabia..
En prenant l'exemple : (-1)^n * n, le rang n2 n'existe pas non ? On aura jamais pour tout p >= n2, Un2 >=2.
Une extraction est une application f : N-->N qui est strictement croissante.
Une sous suite de Un est une suite de la forme Uf(n) avec f une extraction.
C'est sans doute ce que sous entendait carpediem avec
Ok je recapitule : Il faut prouver qu'il existe un n1 > n0 telle que Un1 >=1 afin de compléter la démonstration.
-la suite étant non majoré, on a un n1 ∈ N tel que , ainsi n1 ∉ (0,1, . . . , n0 ) et donc n1 > n0 et Un1>Un0.
Sauf erreur..
merci Sylvieg d'être intervenu !!
effectivement je me suis mélangé les pinceaux entre les définitions "être non majorée" "avoir une limite infinie" !!
je reprends donc :
Construisons une sous-suite Vn qui tend vers +infini :
D'après H ∃ n0 tel que > 0
Posons v0 =
D'après H ∃ n1 ∈ N tel que , ainsi n1 ∉ (0,1, . . . , n0 ) et donc n1 > n0 et >}.
Par conséquent ∃ n1 >n0 , >1.
Posons v1 =
....
D'après H ∃ nk+1 , ainsi nk+1 ∉ (0,1, . . . , nk) et donc nk+1 > nk et > .
Par conséquent ∃ nk+1 >nk , >k
Par construction, on obtient une sous-suite qui tend vers l'infini puisque ∀ k ∈ N, Uvk > k.
Même large, avec ce que tu écris avant, ce n'est pas justifié.
Contre exemple :
un = (n-100)/100
u120 > 0.
u121 est supérieur à tous les un avec n 120.
Mais u121 < 1.
Ou aussi vn = (-1)n(n-100)/100
v120 > 0.
v122 est supérieur à tous les vn avec n 120.
Mais v122 < 1.
et cette histoire de max est inutile !!! vu comment je définis l'indice du terme suivant de la sous-suite (v_n) ...
enfin quelle est la définition d'une suite majorée ?
tu pourras alors répondre à Sylvieg correctement et justifier ce que je dis ...
attention Sylvieg : l'indice de Solay n'est pas le successeur de ...
il doit seulement vérifier et il faut justifier son existence
@carpediem,
Faire intervenir un max permet d'assurer assez facilement la croissance des indices.
Pourquoi le refuser ?
parce que la condition assure la stricte croissance des indices ...
et l'existence de est assurée par l'hypothèse (H) mais il faut le montrer clairement ...
Je complète mon message précédent de 11h37 :
Faire intervenir un max peut permettre d'assurer en même temps la croissance des indices et une limite +.
A condition de rajouter un petit quelque chose dans le max.
@carpediem,
Tu avais amorcé autre chose dans ta 1ère réponse à Solay.
Je vous laisse poursuivre tous les deux jusqu'à une démonstration complète dans l'une ou l'autre des pistes.
mais je suis d'accord, finalement il y a peut-être un os :
Sylvieg : ma première idée est fausse ... voir à 9h16
entretemps je vois que nous sommes arrivé à la même idée du max ... mais à placer au bon endroit !!
ce n'est pas la définition de la majoration mais de la non-majoration !!!
1/ quelle est la définition d'une suite non majorée ?
2/ quelle est la définition d'une suite majorée ?
3/ en déduire une définition équivalente (qui servira ici)
J'ai oublie d'écrire le non . . .
Une suite non majorée : Pour tout A ∈ R, Il existe n ∈ N, tel que Un >= A
Suite majorée : Il existe B ∈ R , tel que pour tout n ∈ N, Un <= B.
Je ne vois une autre définition :[
ok alors de la définition d'une suite majorée tu peux en déduire encore la définition :
et on en déduit donc une autre définition d'une suite non majorée :
C'est une nouvelle définition pour moi, il faut prouver l'existence de ce k non ? Pourquoi k serait plus grand que n?
ce pourrait être des définitions ... on dira plutôt que c'est des conséquences ...
en tout cas elles justifient :
Cerveau qui bouille. . .
1- Il faudrait que je justifie la conséquence que tu me donnes.
2- , Je ne comprends pas pourquoi.
Les questions peuvent sembler bêtes mais je préfère les demander maintenant avant l'examen
1/ je te laisse réfléchir
2/ par définition d'une suite non majorée !!!
si n'existe pas alors la suite (u_n) est majorée car :
l'ensemble des termes {u_0, u_1, ..., u_n_{k}} est fini donc majoré
et si l'ensemble de tous les autres termes sont majorés par k + 1 alors toute la suite (u_n) est majorée ... ce qui est contradictoire avec l'hypothèse (H)
Pour répondre a ma première remarque :
Pour tout n ∈ N, pour tout m ∈ R, il existe k >= n , Uk >= m.
En prenant A = max [ U0, U1, . . . , Un ], par définition de la non majoration on a :
Il existe n0 ∈ N, Un0 >A >= Un. Ok.
Pour 2 : C'est bon simple usage de la définition.
A la fin on obtient donc :
Très bien grand merci pour ta patience carpediem, j'espère que je ferais mieux quand je serais a la prepa
Merci aussi a toi Sylvieg :]
oui certainement ... et tu es sur la bonne voie comme le montre tes efforts ton implication !!
l'exercice n'est pas si facile que ça : il faut bien maitriser et manipuler les définitions ...
et comme tu l'as vu dès mon premier msg j'ai dit des con... justement parce que je me suis mélangé les définitions
quant aux deux conséquences/propriétés que j'ai données il sera bon pour toi de les revoir en détail et de bien voir qu'elle caractérisent respectivement une suite majorée / non majorée
et qu'en fait les définitions que tu connais sont dans chaque cas un cas particulier de ces conséquences
De retour.
Merci carpediem d'avoir pris le relais et accepté l'histoire du max.
Un petit détail :
Ne faut-il pas un > plutôt qu'un , dans pour que la suite des (nk) soit strictement croissante ?
Donc on a montré que non seulement la suite diverge vers + infini, mais elle est aussi
strictement croissante ?
la croissance suffit car la suite (n) est strictement croissante donc il est certain que notre sous-suite dépasse n à partir d'un certain rang ...
et même plus précisément par définition du max on a toujours
et la croissance seule suffit pour la suite (v_n) pour conclure qu'elle tend vers +oo
car on a alors :
pour l'histoire du max merci à toi car ce sont tes contre-exemples qui m'ont permis de me corriger ...
(et on oublie mon premier post qui donnait certes l'idée de construction mais où j'avais mélangé toutes les définitions avec mes quantificateurs)
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