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Niveau maths spé
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suite numerique

Posté par
agatapouglof
01-03-16 à 20:34

bonjour, à tous
je suis tomber sur cet exercice proposer a un concours niveau bac et je pense qu'il a pas de reponse ou sinon c'est que je ne comprends pas la question
merci de m'éclairer

on considere la sequence de nombre entiers definie par
Un = Un-1  - Un-2
avec U1 = 1 et U2 = 2
On  considere tous les triplets (Ui,Uj,Uk)
avec 1\leq  i < j  < k \leq n   et on calcul la somme des trois termes. Quelles est la plus petite valeur de n qui permet d'obtenir au moins 2010 resultats differents ?

quand je commence a calculer les termes je vois que les termes se repetent et sont tous dans l'ensemble {-2,-1,1,2}
U3 = 1
U4 = -1
U5  = -2
U6 = -1
U7 = 1 = U1
U8 = 2 = U2

conclusion  quel que soit n on ne peut avoir que  43 triplets soit 64 triplets
et 4*3*2 triplets differents sont 24  donc jamais on n'aura les 2010 triplets demandés par l'exercice

Posté par
Zrun
re : suite numerique 01-03-16 à 20:50

Qui te dit que les termes à additionner sont consécutif?

Posté par
verdurin
re : suite numerique 01-03-16 à 22:22

Bonsoir,
si l'énoncé que tu donnes est exact, il est effectivement impossible d'avoir 2010 résultats différents.

En fait on ne peut pas en avoir plus de 13 : les entiers de -6 à 6 sont les seuls candidats possibles.

@Zrun ta remarque est inutile.

Posté par
agatapouglof
re : suite numerique 01-03-16 à 23:36

merci c'est vrai donc on ne peut pas determiner n mais puisque c'est pour un concours comment vous pensez qu'on puisse repondre à cette question ?

Posté par
LeDino
re : suite numerique 02-03-16 à 00:24

Il faut répondre qu'il n'y a aucune valeur de n satisfaisant la condition...
... en expliquant pourquoi  (comme tu l'as fait).
Donc pas de plus petite valeur.
Et donc l'énoncé est probablement erroné.

Posté par
LeDino
re : suite numerique 02-03-16 à 00:29

Si on a plutôt :   Un = U(n-1) + U(n-2)
... alors il s'agit de la suite de Fibonacci et l'exercice est bien plus intéressant.

Posté par
LeDino
re : suite numerique 02-03-16 à 00:57

Je dirais qu'il faut n=25.

Avec n=24 on peut créer 2024 triplets de Fibonacci.
Mais il faut retirer 21 doublons sur la somme des triplets. Donc seulement 2004 sommes distinctes.

Avec n=25 on peut créer 2300 triplets de Fibonacci. Dont 22 doublons sur la somme.
Donc plus de 2010 sommes distinctes.

Posté par
verdurin
re : suite numerique 02-03-16 à 10:09

Salut LeDino.

Avec ton énoncé, l'exercice me semble beaucoup plus difficile.
Et je trouve beaucoup plus de doublons que toi :

On a
U_k+U_1+U_2=U_{k-1}+U_{k-2}+U_3 $ pour $ k\ge5

On en déduit
U_{i+k}+U_{i+1}+U_{i+2}=U_{i+k-1}+U_{i+k-2}+U_{i+3}

Ce qui fait, au moins et sauf erreur de ma part, un nombre de doublons sur les n premiers termes égale à

\dfrac{(n-4)(n-5)}{2}

Je suis presque certain qu'il n'y en a pas d'autres, et qu'il n'y a pas trois triplets distincts donnant la même somme.
Ce qui fait que n=25 conviendrait, avec 2090 sommes distinctes.

En tous cas, c'est plus amusant que l'exercice original.
Merci.

Posté par
LeDino
re : suite numerique 02-03-16 à 11:27

Citation :
Avec ton énoncé, l'exercice me semble beaucoup plus difficile.
En tout cas au moins il a un sens ...
Parce que l'énoncé posté au départ est certainement faux.

Citation :
Et je trouve beaucoup plus de doublons que toi :
Je n'ai pas beaucoup cherché.
Je me suis contenté des doublons engendrés par :   u1 + u2 + u6  =  u3 + u4 + u5
... qui se reproduit à chaque rang.
Je n'ai pas cherché s'il y en avait d'autres...

Je trouve ta généralisation et ton calcul convaincants.
Les doublons peuvent être produits par un double échange entre deux termes consécutifs et leur successeur de part et d'autre des deux triplets considérés.

Mon intuition me dit que d'autres doublons sont impossible par construction : deux termes non consécutifs créeraient un vide trop grand à combler... Mais j'avoue ne rien avoir vérifié et il faudrait une démonstration solide.

Citation :
Je suis presque certain qu'il n'y en a pas d'autres, et qu'il n'y a pas trois triplets distincts donnant la même somme.
Je pense pareil.

Citation :
Ce qui fait que n=25 conviendrait, avec 2090 sommes distinctes.
C'est probablement la solution.
Resterait à prouver la conjecture que nous intuitons...

Citation :
En tous cas, c'est plus amusant que l'exercice original.
Merci.

Je pense pour ma part que C'EST l'énoncé original.
Il est très proche de celui qui a été posté.
Il fait référence à Fibonacci.
Il est intéressant.

... il serait bien de savoir d'où il provient. De quel "concours" il s'agit...

Posté par
agatapouglof
re : suite numerique 02-03-16 à 19:26

c'est un concour d'adjoint technique de la statistique AD 2010 D'abidjan et je crois aussi que l'enonce original est faux mais c'est bien celui qui m'as ete presenter dans tous les cas c'est bien plus interessant avec + comme je l'avais pensé

Posté par
verdurin
re : suite numerique 02-03-16 à 20:58

Bonsoir agatapouglof.

Je ne sais pas comment tu as eu le sujet, si c'est dans des annales, le signe moins est presque certainement une faute de frappe.
Sinon, je trouve les examinateurs d'Abidjan assez vaches. Encore qu'il puisse aussi avoir des fautes de frappes dans les sujets, mais c'est plus rare.



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