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Niveau terminale
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suite numérique

Posté par
pppa 25-12-17 à 17:22

Bonjour

j'ai besoin d'aide pour terminer cet exercice.. svp.

La suite (a_n)est définie par a_1 = 1 et par

a_{n+1} = \dfrac{1}{16}.(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})

Donner une expression de a_n en fonction de n.

Mes recherches  : suite manifestement ni arithmétique ni géométrique.

en calculant les valeurs de 5 premiers termes, je conjecture que le dénominateur serait de la forme 2^{2n-1}, mais je ne trouve rien pour le numérateur, qui suit la suite suivante : 1 ; 5 ; 17 ; 51 ; 187...

Faut-il conjecturer, ou y a-t-il une méthode plus générale à appliquer.

Merci pour votre aide

Posté par
ThierryPomare : suite numérique 25-12-17 à 17:47

Bonsoir,

Quel est l'énoncé complet et exact ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite numérique 25-12-17 à 19:24

Bonjour,
Intéressant, mais je ne vois pas de formule miracle
Deux dénominateurs sont faux : C'est 2 , pas 1 et c'est 15 , pas 17 .
C'est toute ma contribution pour le moment. Désolée.

Posté par
Jezebethre : suite numérique 25-12-17 à 21:41

Bonsoir
Les dénominateurs ont l'air d'être en 8*4^n
Je n'ai rien trouvé non plus pour les numérateurs

Posté par
lakere : suite numérique 25-12-17 à 21:53

Bonjour pppa,

Une conjecture:

   a_n=\dfrac{(2^n+1)(2^n+2)}{3\times 2^{2n}}

  qu'on peut écrire autrement si on veut...

Posté par
Jezebethre : suite numérique 25-12-17 à 22:32

ça marche bien pour la récurrence ça ?

Posté par
lakere : suite numérique 25-12-17 à 22:37

Oui, oui, un carré vient sous la racine

Posté par
Jezebethre : suite numérique 25-12-17 à 23:21

bon ce doit être les effluves de Noël... je le vois pas !

tu peux détailler d'où ça vient ? (ou plus tard pour peut-être pas spoiler pppa)

Posté par
lakere : suite numérique 26-12-17 à 09:46

a_n=\dfrac{(2^n+1)(2^n+2)}{3\times 2^{2n}}

1+24a_n=1+8\,\dfrac{(2^n+1)(2^n+2)}{2^{2n}}=\dfrac{9\times 2^{2n}+24\times 2^n+16}{2^{2n}}=\left(\dfrac{3\times 2^n+4}{2^n}\right)^2

Posté par
alb12re : suite numérique 26-12-17 à 11:24

salut,
donc en principe le changement v(n)=(3+sqrt(1+24*u(n)))/(6*u(n)-2) doit donner v(n)=2^n.

Posté par
lakere : suite numérique 26-12-17 à 11:29

Bonjour,

Oui, mais tu avoueras que c'est tiré par les cheveux !

Posté par
lakere : suite numérique 26-12-17 à 11:34

Ou v_n=\dfrac{4}{\sqrt{1+24a_n}-3} toujours aussi capillotracté

Posté par
lakere : suite numérique 26-12-17 à 11:45

Ou encore w_n=4a_{n+1}-a_n-1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite numérique 26-12-17 à 12:15

Bonjour,
@lake,
Pour la conjecture
Et pour 1+24an sous forme d'un carré

Posté par
lakere : suite numérique 26-12-17 à 13:23

Bonjour Sylvieg,

  Pas de mystères, j'ai eu un peu de chance:

  Je crois qu'il est clair que les dénominateurs valent 2^{2n-1}

  J' ai commencé par constater que \dfrac{1}{3} était un point fixe de f où a_{n+1}=f(a_n) puis que la suite semblait bien converger vers cette valeur.

D'où l'idée de multiplier par 3 les numérateurs et là couic:

2 \rightarrow 6=2\times 3=(2^0+1)(2^1+1)

5 \rightarrow 15=3\times 5=(2^1+1)(2^2+1)

  15 \rightarrow 45=5\times 9=(2^2+1)(2^3+1)

   51 \rightarrow 153=9\times 17=(2^3+1)(2^4+1)

Après coup, j'ai pensé à l'arme absolue:  

Posté par
Jezebethre : suite numérique 26-12-17 à 14:53

Chapeau bas lake !

En tout cas exercice un peu tendu en terminale... En temps limité ça aurait été vache

Posté par
Jezebethre : suite numérique 26-12-17 à 15:17

Par contre si je ne m'abuse aucun numérateur ne vaut 2

Posté par
lakere : suite numérique 26-12-17 à 15:21

Si, si: avec un dénominateur de la forme 2^{2n-1} qui vaut 2 pour n=1

   et a_1=\dfrac{2}{2}

Au reste, je pense qu'il y a quelque chose qui nous a échappé dans cet exercice...

Posté par
Jezebethre : suite numérique 26-12-17 à 15:25

Mouais ! ça me semble moins immédiat que le 3.2^{2n}, et de toute façon la relation que tu as obtenue n'est pas valable au rang 1

C'est fort possible... mais je ne vois pas quoi, peut-être y avait-il des questions préliminaires ?

Posté par
lakere : suite numérique 26-12-17 à 15:28

Citation :
et de toute façon la relation que tu as obtenue n'est pas valable au rang 1


Mais si: a_n=\dfrac{(2^n+1)(2^n+2)}{3\times 2^{2n}}=\dfrac{(2^n+1)(2^{n-1}+1)}{3\times 2^{2n-1}}

  qui donne aussi a_1=1 \\

Posté par
Jezebethre : suite numérique 26-12-17 à 15:48

pfiou ! en effet !

Posté par
lakere : suite numérique 26-12-17 à 16:10

>>Jezebeth je crois que tu as loupé un petit détail (c'est de ma faute, je me suis mal expliqué):

  a_n est un rationnel qui peut se mettre sous la forme d'une fraction irréductible d'entiers: a_n=\dfrac{p_n}{q_n} où:

   p_n=\dfrac{(2^n+1)(2^{n-1}+1)}{3}  et  q_n=2^{2n-1}

  sauf pour n=1 où la fraction est réductible (p_1=q_1=2)

Posté par
Jezebethre : suite numérique 26-12-17 à 16:29

ah oui ça va mieux comme ça ! (même si c'était implicite quand tu as expliqué d'où venait ton idée)

mais bon je suis un peu bêbête j'aurais dû comprendre quand même

Posté par
lakere : suite numérique 13-11-23 à 15:50

Bonjour pppa,
Je profite de ton passage pour remonter un vieux fil où tu n'avais pas beaucoup réagi

Posté par
carpediemre : suite numérique 13-11-23 à 20:50

salut

JFF :

16 a_{n + 1} = 1 + 4a_n + \sqrt {1 + 24a_n}

96a_{n + 1} = 1 + 24a_n + 6 \sqrt {1 + 24a_n} + 5 = \left( \sqrt {1 + 24 a_n} + 3 \right)^2 - 4

4(1 + 24a_{n + 1}) = \left( \sqrt {1 + 24a_n} + 3 \right)^2

4u_{n + 1}^2 = (u_n + 3)^2

2u_{n + 1} = u_n + 3
*
suite arithmético-géométrique de raison 1/2     u_n = \left( \frac 1 2 \right)^n (u_0 - 3) + 3 $ avec $ u_0 = 5 (je renumérote la suite initiale à partir de a_0 = 1)

donc u_n = 3 + \dfrac 1 {2^{n - 1}}

et a_n = \dfrac 1 {24} (u_n^2 - 1) = \dfrac 1 {24} \left[ \left( 3 + \dfrac 1 {2^{n - 1}} \right)^2 - 1 \right] = \dfrac 1 {6 \times 2^{2n}}(2^n + 1)(2^{n + 1} + 1) = \dfrac 1 {3 \times 2^{2n + 1}} (2^n + 1)(2^{n + 1} + 1)


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