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Suite récurrente d'ordre 2

Posté par
Milka3 07-03-21 à 09:38

Bonjour,

je relis mon cours sur ce chapitre et quelque chose m'interpelle. Dans un exercice, je devais étudier la suite récurrente suivante :
u(0)=u(1)=1
u(n+2)=2cos(a)u(n+1)-u(n) où a\neq 0[\pi]

L'équation caractéristique : r^2-2cos(a)r+1=0.
Le discriminant : \Delta = -4sin^2(a).
Les racines : e^{ia} ; e^{-ia}

Le théorème dans le cadre complexe où le discriminant est non nul donne :
\large u(n)=\lambda e^{ina}+\mu e^{-ina}

Le théorème dans le cadre réel où le discriminant est strictement négatif donne :
\large u(n)=\lambda' cos(na)+\mu' sin(na)

Et je ne vois pas pourquoi je ne retrouve pas la même expression
Où est mon erreur ?

Posté par
Zrunre : Suite récurrente d'ordre 2 07-03-21 à 09:52

Écrit e^{it}=\cos(t)+i\sin(t)

Posté par
carpediemre : Suite récurrente d'ordre 2 07-03-21 à 09:54

salut

l'ensemble des solutions est un espace vectoriel (sur C ou R) et donc il est stable par combinaison linéaire ...

dans C toute solution est de la forme u_n = pe^{ina} + qe^{-ina} =

mais il suffit alors d'utiliser les formules d'Euler

u_n = p(e^{ina} + e^{-na}) + q(e^{ina} - e^{-ina}) = ...

Posté par
Milka3re : Suite récurrente d'ordre 2 07-03-21 à 11:14

Ok, j'essaye !

\large u(n)=\lambda e^{ina}+\mu e^{-ina}=(\lambda+\mu)cos(na)+i(\lambda-\mu)sin(na)

Si je pose \lambda'=(\lambda+\mu) et \mu'=i(\lambda-\mu) ça fonctionne, il me semble.

Mais l'un des deux scalaires n'est pas réel !
Je n'arrive pas à m'en convaincre.

Posté par
Milka3re : Suite récurrente d'ordre 2 07-03-21 à 11:27

Précisément, voilà ce qui me bloque.

Avec le cadre complexe, j'obtiens :
\large u_n=\lambda e^{ina}+\mu e^{-ina} et je trouve \lambda=\frac{1}{1+e^{ia}} et \mu=\frac{1}{1+e^{-ia}} avec les conditions initiales.

Soit \large u_n=\frac{1}{1+e^{ia}} e^{ina}+\frac{1}{1+e^{-ia}} e^{-ina}

Avec le cadre réel, j'obtiens :
\large u_n=\lambda cos(na)+\mu sin(na) et je trouve \lambda=1 et \mu=\frac{1-cos(a)}{sin(a)} avec les conditions initiales.

Soit \large u_n=cos(na)+\frac{1-cos(a)}{sin(a)}sin(na)

Je ne vois pas pourquoi on a l'égalité :
\large \frac{1}{1+e^{ia}} e^{ina}+\frac{1}{1+e^{-ia}} e^{-ina}=cos(na)+\frac{1-cos(a)}{sin(a)}sin(na) ?

Posté par
Milka3re : Suite récurrente d'ordre 2 08-03-21 à 21:03

Posté par
lafol Moderateurre : Suite récurrente d'ordre 2 08-03-21 à 22:17

Bonsoir
as-tu essayé de remplacer dans l'expression de gauche e^{ina} par \cos na + i\sin na, e^{-ina} par \cos na - i\sin na, e^{ia} par \cos a + i\sin a, et e^{-ia} par \cos a - i\sin a ?

Posté par
lafol Moderateurre : Suite récurrente d'ordre 2 08-03-21 à 22:18

ceci dit je me demande si tu n'as pas des erreurs en amont, parce que déjà pour n=0 ton égalité paraît douteuse

Posté par
Milka3re : Suite récurrente d'ordre 2 08-03-21 à 23:15

Bonsoir lafol,
j'ai repris les données de l'énoncé :
u(0)=u(1)=1
u(n+2)=2cos(a)u(n+1)-u(n) où a\neq 0[\pi]

Je refais le calcul, sachant que l'équation caractéristique est : r^2-2cos(a)r+1=0.
C'est un trinôme de discriminant :
\Delta = (-2cos(a))^2-4\times 1\times 1 = 4cos(a)^2-4=4(cos(a)^2-1)=-4sin^2(a).
Je trouve les deux racines que sont \frac{2cos(a)\pm i2sin(a)}{2}=cos(a)\pm isin(a), soit e^{ia} ; e^{-ia}

Mon théorème dans le cadre complexe donne \large u(n)=\lambda e^{ina}+\mu e^{-ina}.

Et dans le cadre réel, je trouve \large u(n)=\lambda' cos(na)+\mu' sin(na)

Ai-je écris une bêtise jusqu'ici ?
Merci de l'aide en tout cas !

Posté par
matheuxmatoure : Suite récurrente d'ordre 2 08-03-21 à 23:33

bonsoir

non, on peut écrire les solutions des deux façons, mais quand on cherche solution réelle, la forme

u(n) = L cos(na) + M sin(na)

avec L et M réels est plus adaptée

il suffit ensuite de calculer L et M avec les conditions initiales

Posté par
luzakre : Suite récurrente d'ordre 2 09-03-21 à 07:55

Bonjour !

Citation :
Si je pose \lambda'=(\lambda+\mu) et \mu'=i(\lambda-\mu) ça fonctionne, il me semble.

Mais l'un des deux scalaires n'est pas réel !

Si tu as cherché \lambda, \mu avec des conditions initiales réelles tu trouveras des complexes conjugués et alors tes \lambda', \mu' sont bien réels.

Posté par
Milka3re : Suite récurrente d'ordre 2 09-03-21 à 16:07

Lorsque je mène le calcul dans le cadre complexe, je trouve une expression que je n'arrive pas à retrouver dans le cadre réel. D'où mon étonnement !

Dans le cadre complexe :
J'écris \large u(n)=\lambda e^{ina}+\mu e^{-ina}.

Sachant que u(0)=1, j'obtiens \lambda+\mu=1.
Sachant que u(1)=1, j'obtiens \lambda e^{ia}+\mu e^{-ia}=1.

J'ai donc  \mu=1-\lambda.

Puis \large\lambda e^{ia}+(1-\lambda) e^{-ia}=\lambda (e^{ia}-e^{-ia})+e^{-ia}=1.

D'où \large\lambda =\frac{1-e^{-ia}}{e^{ia}-e^{-ia}}=\frac{e^{ia}-1}{e^{2ia}-1}=\frac{1}{e^{ia}+1}.

Puis \large\mu=1-\lambda=1-\frac{1}{e^{ia}+1}=\frac{e^{ia}+1-1}{e^{ia}+1}=\frac{e^{ia}}{e^{ia}+1}=\frac{1}{e^{-ia}+1}.

Je trouve finalement \large u_n=\frac{1}{e^{ia}+1}e^{ina}+\frac{1}{e^{-ia}+1}e^{-ina}.

Posté par
Milka3re : Suite récurrente d'ordre 2 09-03-21 à 16:12

Dans le cadre réel :
J'écris \large u(n)=\lambda' cos(na)+\mu' sin(na)

Sachant que u(0)=1, j'obtiens \lambda'=1.
Sachant que u(1)=1, j'obtiens cos(a)+\mu' sin(a)=1.

J'ai donc \large\mu'=\frac{1-cos(a)}{sin(a)}

D'où \large u_n=cos(na)+\frac{1-cos(a)}{sin(a)}sin(na).

Et je ne vois pas d'où vient l'égalité des deux expressions

Posté par
lafol Moderateurre : Suite récurrente d'ordre 2 09-03-21 à 16:23

peut-être de l'égalité \dfrac{1-\cos a}{\sin a} = \dfrac{\sin a}{1+\cos a} ?

en remplaçant tous les exp(i machin) par cos(machin) +i sin(machin), et en pensant à cette identité, on y arrive, pourtant

Posté par
carpediemre : Suite récurrente d'ordre 2 09-03-21 à 20:09

de toute façon si dans C tu trouves u_n = pe^{ina} + qe^{-ina} avec p et q dans C alors :

v_n = pe^{ina} + \bar p e^{-ina}  est réelle et w_n = pe^{ina} - \bar p e^{-ina} est imaginaire pure ...

Posté par
Milka3re : Suite récurrente d'ordre 2 09-03-21 à 22:37

Merci, je ne l'aurai jamais vu !
Comment l'avez-vous intuité ?

Posté par
lafol Moderateurre : Suite récurrente d'ordre 2 09-03-21 à 23:21

Milka3 @ 09-03-2021 à 22:37

Merci, je ne l'aurai jamais vu !
Comment l'avez-vous intuité ?

si c'est à moi que ça s'adresse en faisant ce que j'ai dit (exp(i machin) = cos(machin)+i sin(machin))et en comparant mon résultat avec ton expression en sin et cos : le coeff de sin na était avec une des fractions chez moi, l'autre chez toi ...

Posté par
Milka3re : Suite récurrente d'ordre 2 11-03-21 à 00:19

Bonsoir,
je suis en train de reprendre l'exercice et finalement, je fais toujours un blocage -_-

J'arrive à cette égalité :

\large u_n=\left(\frac{1}{e^{ia}+1}+\frac{1}{e^{-ia}+1}\right)cos(na)+i \left(\frac{1}{e^{ia}+1}-\frac{1}{e^{-ia}+1}\right)sin(na)

Pour la première parenthèse, je trouve :

\large \left(\frac{1}{e^{ia}+1}+\frac{1}{e^{-ia}+1}\right)=\left(\frac{1}{e^{ia}+1}+\frac{e^{ia}}{e^{ia}+1}\right)=\left(\frac{1+e^{ia}}{e^{ia}+1}\right)=1.

Pour la seconde, je bloque, n'arrivant pas à établir l'égalité :

i \left(\frac{1}{e^{ia}+1}-\frac{1}{e^{-ia}+1}\right)=\frac{sin(a)}{1+cos(a)}

Pouvez-vous m'aider ?

Posté par
lafol Moderateurre : Suite récurrente d'ordre 2 11-03-21 à 09:12

i \left(\dfrac{1}{e^{ia}+1}-\dfrac{1}{e^{-ia}+1}\right)=i \left(\dfrac{e^{-ia}+1}{(e^{-ia}+1)(e^{ia}+1)}-\dfrac{e^{ia}+1}{(e^{-ia}+1)(e^{ia}+1)}\right)= \\ i \left(\dfrac{e^{-ia}+1-e^{ia}-1}{1+e^{-ia}+e^{ia}+1)}\right)=i \left(\dfrac{-2i\sin a}{2+2\cos a)}\right)=\dfrac{sin(a)}{1+cos(a)}

Posté par
lafol Moderateurre : Suite récurrente d'ordre 2 11-03-21 à 09:14

formules d'Euler !
\cos a = \dfrac{e^{ia}+e^{-ia}}{2} et \sin a = \dfrac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i}

Posté par
Milka3re : Suite récurrente d'ordre 2 11-03-21 à 15:37

Ah les formules d'Euler !
Très utile !
Merci, j'ai beaucoup mieux compris


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