Deja remarque pour tout n xn>1 .Si xn converge , alors ...

Le problème est là, il n'y a aucun point fixe. il se situe en l'infini. on le voit bien à l'aide d'un développement asymptotique de la fonction associée à cette suite récurrente.

La suite diverge.

Bonjour,

Je ne garantis pas les calculs (parce que j'ai fait ça vite) mais l'idée suivante devrait marcher :

a) SI  x_n   n^a  tu calcules  a  

b) vu le résultat précédent tu dois pouvoir prouver qu'il existe  A et  B  (récurrence) positifs stricts tels que
A n^a < x _n < B n^a

c)  ta formule de récurrence est télescopique tu divises par ce qu'il faut pour avoir
  la somme de droite alors soit convergente soit un O assez facile d'une puissance de n  et tu as ton début de DL.

Pour x \ {1} on pose f(x) = x + 1/(x - 1). On a f(x) = x + (1/x)(1 + (x)) où (x) tend vers 0 quand x tend vers +.
Soit u une suite à valeurs dans ]-1 , +[ vérifiant u(1 + .) = f o u . Il en existe et elles sont toutes croissantes non majorées.

L'astuce :
  Soit a > 0 et v = u ^-a. On a donc v 0 et v(n + 1) = v(n)(1 + v(n)^2/a + o(1))^-a = v(n) - av(n)^1+2/a + o(1).
Si on prend a = -2 on a v(1 + .) - v 2  donc (Césaro) v(n)/n 2 et v est équivalente à la suite n 2n donc u a la suite n (2n)^1/2.