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Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 10:04

Bonjour ,
Donc c'est [-\frac{1}{2}ln(\frac{Ix-1I}{Ix+1I})] entre 0 et 1/2 , on trouve 0,3ln3

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 10:08

Pour ne pas être brouillon que dois je concrètement rediger pour la question 1 , 2 ...

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 10:41

Citation :
[-\frac{1}{2}ln(\frac{Ix-1I}{Ix+1I})] entre 0 et 1/2


Oui, (sauf le résultat final), tu aurais pu écrire:

   \int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{\text{d}x}{1-x^2}= \int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1-x}\right)\,\text{d}x=\left[\dfrac{1}{2}\left[\ln(1+x)-\ln(1-x)\right]\right]_0^{\frac{1}{2}}=\left[\dfrac{1}{2}\,\ln\,\dfrac{1+x}{1-x}\right]_0^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\,\ln\,3=\ln\,\sqrt{3}

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 11:00

Salut lake , comment montrer que Un converge vers une limite ?
Pour la 2 je ne comprends pas pourquoi vham a négligé le x^(2n)

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 11:29

Pour résumer:

Avec x\in[0,1[:

\sum_{k=0}^{n-1}x^{2k}=\dfrac{1-x^{2n}}{1-x^2}

On intègre sur l'intervalle \left[0,\dfrac{1}{2}\right]:

\begin{aligned} \\ \\   \int_0^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=0}^{n-1}x^{2k}\right)\,\text{d}x=\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{\text{d}x}{1-x^2}-\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^{2n}}{1-x^2}\,\text{d}x \\ \\ \left[\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}\right]_0^{\frac{1}{2}}=\ln\,\sqrt{3}-\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^{2n}}{1-x^2}\,\text{d}x \\ \\ \end{aligned}

  u_n=\ln\,\sqrt{3}-I_n

Sur \left[0,\dfrac{1}{2}\right],\qquad  0\leq \dfrac{x^{2n}}{1-x^2}\leq x^{2n}

d'où par intégration:

    0\leq I_n\leq \dfrac{1}{(2n+1)2^{2n+1}} et \lim\limits_{n\to +\infty}I_n=0

Du coup, \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\ln\,\sqrt{3}

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 12:31

Citation :
Sur \left[0,\dfrac{1}{2}\right],\qquad  0\leq \dfrac{x^{2n}}{1-x^2}\leq x^{2n}
me semble faux ...

Posté par
vhamre : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 12:40

Bonjour

Sur \left[0,\dfrac{1}{2}\right],\qquad  0\leq \dfrac{x^{2n}}{1-x^2}\leq \dfrac{4}{3}x^{2n}
Ce qui ne change pas la conclusion ….

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 12:41

Et comment que c'est faux!

  Sur \left[0,\dfrac{1}{2}\right],\qquad  0\leq \dfrac{x^{2n}}{1-x^2}\leq \dfrac{4}{3}\,x^{2n}

est mieux

Posté par
vhamre : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 12:44

re,

Note : Je n'avais pas vu l'erreur de signe faite allègrement par Molotov79 le  22-02-19 à 20:58

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 12:58

Citation :
2.Montrer que pour tout entier n superieur ou egal a 1 , Un est une valeur approchee de ln(\sqrt{3}) a  (pi/racine cubique de 3)(1/4)^n près


Je vois bien d'où vient le \left(\dfrac{1}{4}\right)^n dans la majoration de I_n

Mais le coefficient \dfrac{\pi}{\sqrt[3]{3}} ?

Avec \dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}, j'aurais encore compris mais là...

Posté par
vhamre : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 13:04

c'est peut-être n au lieu de

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 13:20

Merci lake, carpediem et vham,
Question 2
Absolument lake ,c'est 3racine de 3 car y a une erreur là où je l'ai recopié

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 13:50

Connais-tu la méthode du changement de variable pour le calcul d'une intégrale ?

Si non, et c'est probable, il va falloir aviser.

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 14:50

Oui je la connais et je la maitrise

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 15:11

Ah!

Il s'agit donc de majorer l'intégrale positive \begin{aligned}I_n=\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^{2n}}{1-x^2}\,\text{d}x\end{aligned}

Sur \left[0,\dfrac{1}{2}\right],\qquad x^{2n}\leq \left(\dfrac{1}{4}\right)^n

donc \begin{aligned}I_n\leq \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{\text{d}x}{1-x^2}\end{aligned}

On effectue le changement de variable x=\sin\,\theta dans l'intégrale qui donne (puisque tu connais, tu t'occuperas des détails):

  \begin{aligned}I_n\leq \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\int_0^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{\text{d}\theta}{\cos\,\theta}\end{aligned}

Or sur \left[0,\dfrac{\pi}{6}\right],\qquad \cos\,\theta\geq \cos\,\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} et \dfrac{1}{\cos\,\theta}\leq \dfrac{2}{\sqrt{3}}

  Donc \begin{aligned}\int_0^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{\text{d}\theta}{\cos\,\theta}\leq \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\pi}{6}-0\right)=\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}\end{aligned}

Au final: \ln\,\sqrt{3}-u_n=I_n\leq \dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 16:37

Impeccable , Merci lake je suis tres content , avec ton efficacite je peux faire plus d'exercices en math pour m'ameliorer car les eclaircissements viennent rapidement , pourvu que des personnes aussi efficaces , disponibles et surtout chaleureuses que toi  repondent a mes posts
Pour la derniere question j'ai propose ceci :
\frac{\pi }{3\sqrt{3}}(\frac{1}{4})^n10-2
que je dois resoudre je trouve n2,95 et je prend n=3 que je remplace dans l'expression qui a le (1/4)^n, et j'ai comme resultat final \frac{\pi }{3\sqrt{3}}(\frac{1}{4})^3=\frac{\pi }{192\sqrt{3}}

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 16:46

Comme n2,95 je devais donc prendre 2

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 16:48

Citation :
Pour la derniere question j'ai propose ceci :
\frac{\pi }{3\sqrt{3}}(\frac{1}{4})^n10-2
que je dois resoudre je trouve n2,95 et je prend n=3


Là, tout va (presque ) bien (plutôt n{\red \geq} 2.9{\red 6}) mais je ne comprends pas la suite. Tu as du perdre de vue l'objectif en cours de route.

Il suffit donc de calculer u_3 qui sera une approximation de \ln\sqrt{3} à 10^{-2} près par défaut.

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 16:54

Et si on me demandait par exces ?

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 16:56

  

Ce serait u_3+\dfrac{1}{100}

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 16:59

Ah j'avoue que cet exercice au complet etait difficile en effet j'ai pas poste l'integralite mais c'etait juste la derniere question .
Tu es tres patient et c'est gentil
*****tu peux jeter un coup d'oeil ici stp,  **message modéré**et toujours la même méthode ! ****

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 17:02

Citation :
en effet j'ai pas poste l'integralite


Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 17:03

C'est parce que je suis parvenu a tout faire , ce que j'ai poste c'est uniquement la partie qui me faisait probleme

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 17:05

Ce n'est pas une bonne raison mais tu continues à ne pas vouloir comprendre...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 17:09

?

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 17:18

Pour te répondre correctement, on a nous aussi besoin des questions que tu as su résoudre.
De plus, les exercices posés sur l' sont "archivés", c'est à dire consultables par d'autres. Le forum est aussi là pour mutualiser les problèmes. Si l'exercice posé est incomplet ou inexact, il devient inutilisable voire sans intérêt.

Si cette explication ne te suffit pas, tu en auras bientôt une autre en complément.

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