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Niveau terminale
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Suite somme inverse puissance impaire

Posté par
Molotov79 17-02-19 à 16:42

Salut tout le monde , j'avais un exercice de suite sur lequel je bloque et je demande votre aide , le voici :
(Un)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3.2^{3}}+\frac{1}{5.2^{5}}+...+\frac{1}{(2n-1)^{2n-1}}
1.Montrer que Un converge vers une limite que l'on precisera
2.Montrer que pour tout entier n superieur ou egal a 1 , Un est une valeur approchee de ln(\sqrt{3}) a  (pi/racine cubique de 3)(1/4)^n pres
3.En deduire sous forme de fration une valeur approchee de ln de racine de 3 a 10^-2 pres par defaut

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 17:12

salut

revois ton énoncé ...

il suffit de majorer par une suite (géométrique) évidente et convergente ...

par contre pour préciser la limite ...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 17:39

Et l'autre exercice avec factorielle j'ai tout fait il me reste une seule question merci de m'aider

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 17:52

fais déjà celui là ... on verra plus tard pour l'autre ...

d'ailleurs faire plusieurs exercices en même temps est incompatible avec un apprentissage sérieux ...

Posté par
larrechre : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 18:07

Bonsoir,

Evidemment, si on se souvient du développement en série de argtanh on peut préciser...

Mais ce n'est pas du niveau Terminale.

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 18:10

carpediem c'est parce que le week end je profite pour avoir des reponses a tous les problemes que j'avais
larrech bonsoir , comme c'est dans mon receuil de devoirs terminale , je me demande comment le traiter avec des atouts de terminale car c'est un exercice qui arrive souvent dans differentes ecoles

Posté par
larrechre : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 18:13

Tu fais tes études en France ?

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 18:16

Non en afrique , et on travaille avec le vieux programme et nos exercices sont du hachette terminale C ou du bordas 1975

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 18:47

u_n(x) = \sum_1^n \dfrac 1 {2k - 1} x^{2k - 1} \\ \\ u'_n(x) = \sum_1^n x^{2k - 2} = \dfrac 1 {x^2} \sum_1^n (x^2)^k = \dfrac {1 - (x^2)^n}{1 - x^2}

il suffit alors de primitiver .... et de prendre x = 1/2

PS : revoir proprement la dérivée (premier terme) ...

Posté par
larrechre : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 18:55

Salut carpediem

Et ce serait plus facile en passant d'abord à la limite étant entendu que |x|<1

C'était quand même  du costaud en Terminale C en ce temps là...

Je vous laisse.

Posté par
veledare : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 19:03

bonsoir,
u_{n}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1-x^{2n}}{1-x^{2}}dx
si je ne me suis pas trompée  on trouve bien la limite attendue

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 19:06

Bonsoir ,
pourquoi prendre x=1/2 et alors dans quel cas faut t-il deriver et prendre la primitive ? pour avoir une expression simplifiee ?? quel est donc l'esprit de l'exercice ?

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 19:17

oui passer à la limite avant de primitiver semble plus efficace ...

Molotov79 @ 17-02-2019 à 19:06

Bonsoir ,
pourquoi prendre x=1/2 et alors dans quel cas faut t-il dériver et prendre la primitive ? pour avoir une expression simplifiée ?? quel est donc l'esprit de l'exercice ?
ben parce que lorsque x = 1/2 on retrouve bien ta suite ...

parce que dériver permet de trouver une fonction simple (à la limite) qu'on sait primitiver ...

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 19:18

carpediem @ 17-02-2019 à 19:17

oui passer à la limite avant de primitiver semble plus efficace ...

Molotov79 @ 17-02-2019 à 19:06

Bonsoir ,
pourquoi prendre x=1/2 et alors dans quel cas faut t-il dériver et prendre la primitive ? pour avoir une expression simplifiée ?? quel est donc l'esprit de l'exercice ? ben c'est d'en avoir ...
ben parce que lorsque x = 1/2 on retrouve bien ta suite ...

parce que dériver permet de trouver une fonction simple (à la limite) qu'on sait primitiver ...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 19:24

Pour la sortir j'applique une IPP ?

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 20:31

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 20:44

comment la primitiver je veux dire ?

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 20:52

1/(1 - x^2) ... ben décomposition en éléments simples ...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 17-02-19 à 21:14

ce que tu as ecrit la primitive c'est 0,5ln(x+1/x-1)
c'est du x^2n/(x^2 -1) dont je parle

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 18-02-19 à 09:11

carpediem @ 17-02-2019 à 18:47

u_n(x) = \sum_1^n \dfrac 1 {2k - 1} x^{2k - 1} \\ \\ u'_n(x) = \sum_1^n x^{2k - 2} = \dfrac 1 {x^2} \sum_1^n (x^2)^k = \dfrac {1 - (x^2)^n}{1 - x^2}

il suffit alors de primitiver .... et de prendre x = 1/2

PS : revoir proprement la dérivée (premier terme) ...
à toi de le faire proprement donc ...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 18-02-19 à 16:13

J'ai pas compris ce que tu veux dire

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 18-02-19 à 18:04

je veux dire par là que ce que j'ai écrit à la suite de l'expression de u_n (donc le calcul de u'_n je l'ai écrit sans aucune rigueur ... donc à vérifier ... en particulier ce qui se passe pour le premier terme ...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 18-02-19 à 20:22

carpediem @ 18-02-2019 à 18:04

je veux dire par là que ce que j'ai écrit à la suite de l'expression de u_n (donc le calcul de u'_n je l'ai écrit sans aucune rigueur ... donc à vérifier ... en particulier ce qui se passe pour le premier terme ...

La derivee c'est somme des k allant de 1 à n de x^2(k-1)

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 20-02-19 à 20:15

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 20-02-19 à 20:17

et quand vas-tu te mettre au travail ?

carpediem @ 18-02-2019 à 18:04

je veux dire par là que ce que j'ai écrit à la suite de l'expression de u_n (donc le calcul de u'_n je l'ai écrit sans aucune rigueur ... donc à vérifier ... en particulier ce qui se passe pour le premier terme ...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 20-02-19 à 20:20

la derive pour u1 c'est 1 pour u2 c'est 1+x2 ...

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 21-02-19 à 08:10

Bonjour,

  

Citation :
Un est une valeur approchee de ln(\sqrt{3}) a  (pi/racine cubique de 3)(1/4)^n pres


  Tu ne confondrais pas \sqrt[3]{3} et 3\sqrt{3} ?

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 21-02-19 à 18:10

Bonjour ,
Heu d'apres l'enonce que j'ai recopie c'est bien racine cubique ,
Merci de m'aider pour la resolution de cette question sur laquelle je ne comprend pas grand chose !

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 21-02-19 à 18:13

Citation :
Heu d'apres l'enonce que j'ai recopie c'est bien racine cubique ,


Alors je passe mon tour...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 21-02-19 à 18:14

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 14:14

Bonjour je demande une aide Stp

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 14:25

carpediem @ 20-02-2019 à 20:17

et quand vas-tu te mettre au travail ?

carpediem @ 18-02-2019 à 18:04

je veux dire par là que ce que j'ai écrit à la suite de l'expression de u_n (donc le calcul de u'_n je l'ai écrit sans aucune rigueur ... donc à vérifier ... en particulier ce qui se passe pour le premier terme ...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 14:42

Salut , carpediem, si j'avais bien compris je ne demanderai pas , comment faire ?

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 15:08

tu te débarrasses du sygma et tu dérives correctement et tu vérifies ce que j'ai fait ...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 15:19

En derivant j'ai Un'(x)=\frac{1}{x^2}.\frac{x^{2n}-1}{x^2 -1}

Posté par
vhamre : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 16:31

Bonsoir,

Ce n'est pas ce qui est donné le 17-02-19 à 18:47 ni le 18-02-19 à 09:11
Pourquoi ne donnez-vous jamais vos calculs intermédiaires qui vous permettraient de vous contrôler et d'être mieux aidé ?
Que vous inspire la forme correcte de un'(x) ?

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 16:37

Bonsoir , voila ce que j'ai u_n(x) = \sum_1^n \dfrac 1 {2k - 1} x^{2k - 1}, u'_n(x) = \sum_1^n x^{2k - 2} = \dfrac 1 {x^2} \sum_1^n (x^2)^k = \dfrac {1 - (x^2)^n}{1 - x^2}.\frac{1}{x^2} \\

Posté par
vhamre : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 17:06

Vérifiez, pour x=1/2 et n=3, \sum_1^3 (1/2^{2k - 2}=1+1/4 + (1/4)^2  avec votre dernière expression

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 18:26

cela ne marche pas, donc mon expression n'est pas juste !
Je serai bien content de connaitre mon erreur , cet exercice me turlupine depuis bien 5 jours

Posté par
carpediemre : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 18:39

carpediem @ 18-02-2019 à 09:11

carpediem @ 17-02-2019 à 18:47

u_n(x) = \sum_1^n \dfrac 1 {2k - 1} x^{2k - 1} \\ \\ u'_n(x) = \sum_1^n x^{2k - 2} = \dfrac 1 {x^2} \sum_1^n (x^2)^k = \dfrac {1 - (x^2)^n}{1 - x^2}

il suffit alors de primitiver .... et de prendre x = 1/2

PS : revoir proprement la dérivée (premier terme) ...
à toi de le faire proprement donc ...
mais tu ne le fais toujours pas proprement puisque tu recopies ce que j'ai écrit  ... malgré toutes mes mises en garde

tu ne veux pas faire ton ... alors tant pis pour toi !!

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 18:53

J'ai bien fausse tout le monde avec mon erreur , en fait Un=\sum_{k=1}^{n}{(\frac{1}{2})^{2k-1}}.\frac{1}{2k-1}

Posté par
vhamre : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 20:43

Bonsoir,

--> Molotov79 : Je fais encore un effort pour vous permettre d'avancer. vous avez écrit le 22-02-19 à 16:37

Citation :
u'_n(x) = \sum_1^n x^{2k - 2} = \dfrac 1 {x^2} \sum_1^n (x^2)^k = \dfrac {1 - (x^2)^n}{1 - x^2}.\frac{1}{x^2}

Vous avez vérifié que votre dernière expression est fausse. En effet vous laissez trainer le dernier \frac{1}{x^2}

Supposant donc que vous avez compris qu'il faut maintenant intégrer \int_0^{1/2}\dfrac {1 - (x^2)^n}{1 - x^2}dx pour retrouver u_n,
vous décidez que (x^2)^n est négligeable par rapport à 1,

Comment intégrez-vous \int_0^{1/2}\dfrac {1}{1 - x^2}dx   ?   donnez tous vos calculs intermédiaires.

Posté par
vhamre : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 20:47

A tous : Laissons Molotov79 présenter ses calculs qui, cette fois, devraient être de son niveau.

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 20:58

J'ai \frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}) , \int \frac{1}{1-x^2}dx=\frac{1}{2}ln(\frac{1-x}{1+x}) le tour est joue en calculant j'ai comme resultat -0,5ln(3)

Posté par
vhamre : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 21:08

OK c'était vu le 17-02-19 20:52. Je n'avais pas suivi en détail ...

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 21:13

Alors ? que dois je rediger sur mon cahier ?

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 22:07

Posté par
vhamre : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 23:03

Il semble bien que vous ayez toutes les données pour répondre aux questions de l'énoncé, y compris pour établir la fraction de la question 3.
Bonne fin.

Posté par
Molotov79re : Suite somme inverse puissance impaire 22-02-19 à 23:10

Molotov79 @ 22-02-2019 à 21:13

Alors ? que dois je rediger sur mon cahier ?

Posté par
lakere : Suite somme inverse puissance impaire 23-02-19 à 09:32

Citation :
J'ai \frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}) , \int \frac{1}{1-x^2}dx=\frac{1}{2}ln(\frac{1-x}{1+x}) le tour est joue en calculant j'ai comme resultat -0,5ln(3)


Tes calculs sont à revoir.

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