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Niveau terminale
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Suites

Posté par
coatch 17-12-17 à 17:50

Bonsoir, voici un exercice de mon DM pourriez vous m'aider :

La suite (Un) est définit par U0 = 1 et pour tout entier naturel n par Un+1 = \frac{Un}{1+Un}

On donne ci dessous les premiers termes de cette suite obtenus à l'aide d'un tableur :

Suites

Démontrer que la suite (Un) est convergente.

Merci

Posté par
malou Webmasterre : Suites 17-12-17 à 17:52

montre que tous les termes sont positifs et que cette suite est décroissante
voilà une piste possible
.....

Posté par
coatchre : Suites 17-12-17 à 18:06

On sait que U0 = 1
                           Un+1= \frac{Un}{1+Un}

U1 =\frac{U0}{1+U0} =\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

U2 =\frac{U1}{1+U1} =\frac{0.5}{1+0.5} = \frac{1}{3}

U3 =\frac{U2}{1+U2} =\frac{1}{1+1/3} = \frac{1}{4}

.....

Ainsi la suite (Un) est décroissante.

Posté par
malou Webmasterre : Suites 17-12-17 à 18:08

ce n'est pas du tout ce que je t'ai dit de faire
là, tu vois que sur les premiers termes, tu as l'impression que la suite est décroissante, mais tant que tu ne le démontres pas (comme j'ai dit au dessus...)

Posté par
coatchre : Suites 17-12-17 à 18:19

Citation :
ce n'est pas du tout ce que je t'ai dit de faire


Bah en calculant U1 puis U2 etc... je le montre que la suite est décroissante ?

Posté par
malou Webmasterre : Suites 17-12-17 à 18:27

ben non
que sais-tu de U45 et U46
rien !
tu as du apprendre qu'un exemple ne peut pas tenir lieu de démonstration générale

Posté par
coatchre : Suites 17-12-17 à 19:14

Il faut que je prenne un grand chiffre ? par exemple 100 ?

Posté par
malou Webmasterre : Suites 17-12-17 à 19:39

malou @ 17-12-2017 à 17:52

montre que tous les termes sont positifs et que cette suite est décroissante
voilà une piste possible
.....

récurrence pour montrer que tous les termes sont positifs

puis calcul de un+1-un pour en déterminer le signe

Posté par
coatchre : Suites 17-12-17 à 20:04

Donc pour la récurrence j'ai pas tout bien compris, est ce que ça c'est bon:

Hérédité : Un+1= \frac{Un}{1+Un} et que Un+1 >0 (j'ai mis >0 pour dire que la suite sera toujours positifs )ce qui est vrai
Initialisation : Supposons que le rang n+2 soit >0.
                                     Un+1>0 et Un+2>0
                                      Donc Un+2 >0 ce qui est vrai
Conclusion : Un+1 >0

Posté par
coatchre : Suites 17-12-17 à 21:07

Posté par
coatchre : Suites 18-12-17 à 17:22

Posté par
malou Webmasterre : Suites 18-12-17 à 17:36

il serait temps d'aller voir les exemples faits en classe pour savoir ce qu'on appelle "initialisation" (qui d'ailleurs est à faire en premier)

Posté par
coatchre : Suites 18-12-17 à 17:39

Citation :
érédité : Un+1= \frac{Un}{1+Un} et que Un+1 >0 (j'ai mis >0 pour dire que la suite sera toujours positifs )ce qui est vrai
Initialisation : Supposons que le rang n+2 soit >0.
                                     Un+1>0 et Un+2>0
                                      Donc Un+2 >0 ce qui est vrai
Conclusion : Un+1 >0


Je rectifie

Initialisation : U0 = 1 d'où 1>0
Le suite est positif au rang 1.

Hérédité : Supposons que Up est positif, c'est à dire Up>0
Et montrons qu'alors, que Up+1 est positif, c'est à dire Up+1>0
Up>0 donc \frac{Un}{1+Un} > 0 d'où Up > 0 et il y a hérédité.

Conclusion : Par récurrence, Un > 0

Posté par
malou Webmasterre : Suites 18-12-17 à 17:53

alors, ça commence à ressembler, mais c'est truffé d'erreurs ou d'inexactitudes...
soit P_n la propriété.......

Citation :
Initialisation : U0 = 1 d'où 1>0
Le suite est positif au rang 1.La propriété est vraie au rang .....

Hérédité : Supposons que Up est positif, c'est à dire Up>0
Et montrons qu'alors, que Up+1 est positif, c'est à dire Up+1>0
Up>0 donc \frac{U\cancel{n}}{1+U\cancel{n}} > 0 d'où Up > 0 et il y a hérédité.

Conclusion : Par récurrence, pour tout n de N, Un > 0

Posté par
coatchre : Suites 18-12-17 à 18:15

Initialisation : U0 = 1  1>0
La propriété est vraie au rang 0

Hérédité : Supposons que Up est positif, c'est à dire Up>0
Et montrons qu'alors, que Up+1 est positif, c'est à dire Up+1>0
Up>0 donc \frac{Un}{1+Un} > 0 d'où Un > 0 et il y a hérédité.

Conclusion : Par récurrence, pour tout n de N, Un > 0

Posté par
malou Webmasterre : Suites 18-12-17 à 18:24

OK sauf cette ligne
Up>0 donc \frac{Un}{1+Un} > 0 d'où Un > 0 et il y a hérédité.
que viennent faire les n là dedans ??
et la conclusion de cette ligne aussi est fausse

Posté par
coatchre : Suites 18-12-17 à 18:28

Up>0 donc \frac{Up}{1+Up} > 0 et il y a donc hérédité.

Posté par
malou Webmasterre : Suites 18-12-17 à 18:35

oui, parce que le quotient que tu as écrit \dfrac{Up}{1+Up} représente quoi ???

Posté par
coatchre : Suites 18-12-17 à 18:40

Le quotient \frac{Up}{1+Up} représente la suite pour les termes de Up

Posté par
malou Webmasterre : Suites 18-12-17 à 18:56

cela ne veut rien dire
relis ton énoncé et réponds à ma question

Posté par
coatchre : Suites 18-12-17 à 19:11

Excuse moi mais je vois pas ce que tu veux dire.

Posté par
coatchre : Suites 18-12-17 à 19:53

Le quotient c'est pour Up+1 = \frac{Up}{1+Up}

Posté par
malou Webmasterre : Suites 18-12-17 à 19:56

oui, le quotient est égal à up+1 qui est donc positif
d'où l'hérédité

Posté par
coatchre : Suites 18-12-17 à 20:04

Ok donc après ça je calcule

Un+1 - Un = \frac{Un}{1 + Un} - \frac{Un*(1 + Un)}{1 + Un}

= \frac{Un}{1 + Un} - \frac{Un - Un²}{1 +Un}

= \frac{- Un²}{1 + Un}

Posté par
malou Webmasterre : Suites 18-12-17 à 20:18

2e ligne : une erreur de signe
3e ligne : juste
et sais tu encore pourquoi tu calcules cela, dit autrement qu'en fais-tu ?

Posté par
coatchre : Suites 18-12-17 à 20:28

Un+1 - Un = \frac{Un}{1 + Un} - \frac{Un*(1 + Un)}{1 + Un}

= \frac{Un}{1 + Un} - \frac{Un + Un²}{1 +Un}

= \frac{Un²}{1 + Un}

Mais s'il y a une erreur de signe, la troisième c'est faux ?
Et franchement si vous m'auriez pas dit de calculer Un+1 - Un je ne l'aurait pas fait et je ne sais pas à quoi ça sert.

Posté par
malou Webmasterre : Suites 18-12-17 à 20:46

tu ne travailles pas assez ton cours....tu as appris à faire ça dès la 1re....
Cours sur les suites numériques de première

un - devant une fraction, tu dois mettre des parenthèses quand tu mets tout sur la même barre de fraction
ton résultat (dernière ligne) est donc désormais faux

Posté par
coatchre : Suites 18-12-17 à 21:24

D'accord

Un+1 - Un = \frac{Un}{1 + Un} - \frac{(Un*(1 + Un))}{1 + Un}

= \frac{Un}{1 + Un} - \frac{(Un + Un²)}{1 +Un}

= \frac{- Un²}{1 + Un}

Je pense que cette foi ci c'est bon, j'ai fait une erreur en recopiant désolée.
Je continuerai demain.
Bonne soirée

Posté par
malou Webmasterre : Suites 18-12-17 à 21:28

ok, c'est bon !

Posté par
coatchre : Suites 19-12-17 à 17:42

Un+1 - Un
C'est pour savoir si la suite est croissante.

Posté par
malou Webmasterre : Suites 19-12-17 à 18:27

ou décroissante, dit autrement pour étudier la monotonie
tout à fait !

Posté par
coatchre : Suites 19-12-17 à 19:00

Ok donc

Un+1 - Un = \frac{Un}{1 + Un} - \frac{(Un*(1 + Un))}{1 + Un}

= \frac{Un}{1 + Un} - \frac{(Un + Un²)}{1 +Un}

= \frac{- Un²}{1 + Un}

Ce qui permet de dire que Un+1-Un est croissante donc Un est croissante ?

Posté par
alainpaulre : Suites 19-12-17 à 19:08

Bonsoir,


Une remarque;ici, la relation peut également s'écrire:

\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_n}+1  

ça à dire une suite arithmétique de raison=1,


Alain

Posté par
coatchre : Suites 19-12-17 à 19:21

D'accord Alain

Mais une suite qui converge c'est une suite croissante et majorée par M (un nombre quelconque) , converge vers un réel l tel que l M
C'est ça

Posté par
malou Webmasterre : Suites 19-12-17 à 19:58

Citation :
Mais une suite qui converge c'est une suite croissante et majorée par M

tu raisonnes à l'envers, une suite peut très bien converger sans être monotone...
relis ton théorème....une suite croissante et majorée converge
ou
une suite décroissante et minorée....

Posté par
coatchre : Suites 19-12-17 à 20:07

Une suite croissante et majorée converge
ou
une suite décroissante et minorée converge

Posté par
malou Webmasterre : Suites 19-12-17 à 20:10

oui

Posté par
coatchre : Suites 19-12-17 à 20:15

Donc en montrant, par récurrence, que le suite est positive ( est ce que je peux dire strictement croissante) et faisant, Un+1-Un, on a montré qu'elle est décroissante et ...

Posté par
malou Webmasterre : Suites 19-12-17 à 20:18

relis ce que tu as écrit
c'est incohérent
n'invente pas s'il te plait
tu as démontré certaines choses, faudrait en tenir compte

Posté par
coatchre : Suites 19-12-17 à 20:21

Par récurrence, on a montré que la suite est positive ?

Posté par
malou Webmasterre : Suites 19-12-17 à 20:22

vrai

Posté par
coatchre : Suites 19-12-17 à 20:24

Et Un+1 - Un, c'est pour montrer si la suite est croissante ou décroissante ?

Posté par
malou Webmasterre : Suites 19-12-17 à 20:29

j'ai déjà répondu à tout ça....

Posté par
coatchre : Suites 19-12-17 à 20:35

Ici la suite est décroissante mais positive et là je sais pas si elle est majorée ou minorée

Posté par
malou Webmasterre : Suites 19-12-17 à 20:42

ben là alors, t'as raison de rougir...
fais un dessin
la droite des réels
tu places 0
tu matérialises par des petits points les termes de la suite
et tu reviens répondre à ta question

Posté par
coatchre : Suites 19-12-17 à 20:52

C'est bon
La suite est décroissante mais positive et est minorée par 0

Posté par
malou Webmasterre : Suites 19-12-17 à 21:03

Posté par
coatchre : Suites 19-12-17 à 21:09



Citation :
La suite est décroissante mais positive et est minorée par 0


Question : ça montre que la suite est convergente ?

Posté par
alb12re : Suites 19-12-17 à 21:14

salut,
on peut aussi conjecturer l'expression de u(n) en fonction de n.

Posté par
malou Webmasterre : Suites 19-12-17 à 21:18

coatch @ 19-12-2017 à 21:09



Citation :
La suite est décroissante mais positive et est minorée par 0


Question : ça montre que la suite est convergente ?


coatch @ 19-12-2017 à 20:07

Une suite croissante et majorée converge
ou
une suite décroissante et minorée converge

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