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Suites
Bonjour,
Merci d'avance pour votre aide.
Voici le sujet d'un exercice de DNS qui me pose de sérieuses difficultés:
Soit un réel k tel que 0 < k < 1 et la suite (Un) définie par U0 = 1 et Un+1 = (1+kn)Un.
1) Démontrer par récurrence que pour n>=1 on a Un = (1+k)(1+k²)(1+k3)...(1+kn)
2) On pose Vn = ln(Un).
a) Justifier que pour tout réel x>=0, on a ln(1+x)<=x
b) En déduire que la suite (Vn) est majorée par 1 / (1-k)
3) Démontrer que la suite (Un) est majorée et croissante.
4)En déduire que la suite (Un) est convergente.
Pour la question 1), L'hypothèse est: Un = (1+k)(1+k²)(1+k3)...(1+kn) et je parviens à faire l'initialisation:
je trouve U1 = (1 + k1)U0 = 1+k
et U1 = 1+k avec la seconde formule.
Je ne vois absolument pas comment démarrer mon hérédité?
Bonsoir,
Il semble qu'il y ait une erreur dans ta formule de récurrence, qui est probablement :
Un+1 = (1+kn+1)Un
Possible. Quand tu construis la suite avec la récurrence indiquée, tu trouves :
U0 = 1
U1 = (1+k0)U0 = (1+1)x1
U1 = 2
(car k0 = 1, et à cette étape pour obtenir n+1 = 1 il faut prendre n = 0)
Et d'après la formule à atteindre, on a :
U1 = 1+k
(ce qui est 
2 car k < 1)
Alors que, avec la correction que je t'ai suggérée, la récurrence est immédiate.
Merci à vous,
Je n'ai pas fais d'erreur de saisie en recopiant le sujet.
Il doit donc bien y avoir erreur d'énoncé !
Ceci dit je ne vois pas comment construire la récurrence si je prends en compte la modification de LeHibou?
hypothèse: Un = (1+k)(1+k²)(1+k3)...(1+kn)
Donc Un+1 = (1+k)(1+k²)(1+k3)...(1+kn) (1+kn+1) = Un (kn+1)
C'est tout ?
Cà me parait trop simple !
Ceci dit je ne vois pas comment construire la récurrence si je prends en compte la modification de LeHibou?
C'est immédiat :
U0 = 1
U1 = (1+k)U0 = 1+k
On suppose :
Un = (1+k)(1+k2)...(1+kn)
Alors Un+1 = (1+kn+1) Un = ?
Merci
Pour la question 2a) je montre facilement que ln(1+x)-x <=0 pour x>=0 en étudiant la fonction.
Par contre je sèche pour la 2b).
Pour la 2b), tu déduis de 22a) que :
ln(1+xn) 
xn (i)
Tu exprimes alors Vn, en te souvenant que le ln d'un produit est égal à... ?
Enfin tu majores l'espression obtenue avec l'inéquation (i), et tu vas retrouver quelque chose de bien connu.
Pas certain de tout comprendre mais je me lance:
Vn = ln(Un)
Vn = ln( (1+k)(1+k2)...(1+kn)
Vn = ln(1+k) + ln(1+k²) + ... + ln(1+kn)
Si j'ai compris, on obtient alors:
ln(1+k) + ln(1+k²) + ... + ln(1+kn) <= k + k² + .... + kn
c'est bon pour le moment ?
Or k+k²+...+kn est la somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique de raison k
elle peut s'exprimer de cette manière: (1-kkn)/(1-k) soit (1-kn+1)/(1-k)
Je n'obtiens pas le 1/(1-k)
C'est l'esprit, mais ce n'est pas assez précis.
Tu peux écrire :
k + k² +...kn = k(1 + k + k² +... kn-1)
Tu connais la somme entre parenthèses, tu aboutis donc à :
k(1-kn)/(1-k)
Ca n'est pas tout-à-fait le résultat cherché, mais on s'approche.
Souviens-toi que tu as 0 < k < 1
Peux-tu ten servir pour obtenir un encadrement du numérateur k(1-kn) ?
0<k<1 donc kn tend vers 0
ainsi le numérateur tend vers k, ce qui nous donne k/(1-k)
Je n'y suis pas encore !?
Plutôt que de parler de limites, tu peux parler d'encadrement :
0 < k < 1 (i)
D'où
0 < kn < 1
-1 < -kn < 0
0 < 1 - kn < 1 (ii)
Et en combinant (i) et (ii) :
0 < k(1 - kn) < 1
D'où :
0 < k(1 - kn) /(1-k) < 1/(1-k)
Super, je comprends mais il faut aller le chercher loin...très loin !!
Encore merci!
Pour la suite,
Je sais que Vn = ln(Un)
La fonction ln est strictement croissante.
Or (Vn) est majorée donc (Un) l'est aussi.
Un+1 - Un = (1+kn)Un -Un = Un(1+kn-1) = Unkn
Unkn > 0 donc (Un) est croissante.
La suite (Un) est croissante et majorée donc elle converge.
Oui !
Ou pour la croissance de Un, encore plus simple :
Un+1/Un = = 1+kn+1 > 1
Super, je comprends mais il faut aller le chercher loin...très loin !!
Sinon ça serait pas drôle de faire des maths
Bonne soirée,
LeHibou
Sincères remerciements LeHibou pour ton aide et pour le temps que tu m'as accordés.
Bonne nuit !
Au plaisir 
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