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Suites

Posté par
lapilo
22-10-20 à 21:13

Bonjour,
Merci d'avance pour votre aide.
Voici le sujet d'un exercice de DNS qui me pose de sérieuses difficultés:

Soit un réel k tel que 0 < k < 1 et la suite (Un) définie par U0 = 1 et  Un+1 = (1+kn)Un.
1) Démontrer par récurrence que pour n>=1 on a Un = (1+k)(1+k²)(1+k3)...(1+kn)
2) On pose Vn = ln(Un).
a) Justifier que pour tout réel x>=0, on a ln(1+x)<=x
b) En déduire que la suite (Vn) est majorée par 1 / (1-k)
3) Démontrer que la suite (Un) est majorée et croissante.
4)En déduire que la suite (Un) est convergente.

Pour la question 1), L'hypothèse est: Un = (1+k)(1+k²)(1+k3)...(1+kn) et je parviens à faire l'initialisation:
je trouve U1 = (1 + k1)U0 = 1+k
et U1 = 1+k avec la seconde formule.
Je ne vois absolument pas comment démarrer mon hérédité?

Posté par
LeHibou
re : Suites 22-10-20 à 21:24

Bonsoir,

Il semble qu'il y ait une erreur dans ta formule de récurrence, qui est probablement :
Un+1 = (1+kn+1)Un

Posté par
alb12
re : Suites 22-10-20 à 21:25

salut,
erreur dans l'enonce ?

Posté par
LeHibou
re : Suites 22-10-20 à 21:57

Possible. Quand tu construis la suite avec la récurrence indiquée, tu trouves :
U0 = 1
U1 = (1+k0)U0 = (1+1)x1
U1 = 2
(car k0 = 1, et à cette étape pour obtenir n+1 = 1 il faut prendre n = 0)
Et d'après la formule à atteindre, on a :
U1 = 1+k
(ce qui est 2 car k < 1)
Alors que, avec la correction que je t'ai suggérée, la récurrence est immédiate.

Posté par
lapilo
re : Suites 22-10-20 à 22:09

Merci à vous,

Je n'ai pas fais d'erreur de saisie en recopiant le sujet.
Il doit donc bien y avoir erreur d'énoncé !

Ceci dit je ne vois pas comment construire la récurrence si je prends en compte la modification de LeHibou?

Posté par
lapilo
re : Suites 22-10-20 à 22:13

hypothèse: Un = (1+k)(1+k²)(1+k3)...(1+kn)
Donc Un+1 = (1+k)(1+k²)(1+k3)...(1+kn) (1+kn+1) = Un (kn+1)
C'est tout ?
Cà me parait trop simple !

Posté par
LeHibou
re : Suites 22-10-20 à 22:13

Citation :
Ceci dit je ne vois pas comment construire la récurrence si je prends en compte la modification de LeHibou?


C'est immédiat :
U0 = 1
U1 = (1+k)U0 = 1+k
On suppose :
Un = (1+k)(1+k2)...(1+kn)
Alors Un+1 = (1+kn+1) Un = ?

Posté par
LeHibou
re : Suites 22-10-20 à 22:15

Citation :
Ça me parait trop simple !

Ça n'est que la première question !

Posté par
lapilo
re : Suites 22-10-20 à 22:19

Merci
Pour la question 2a) je montre facilement que ln(1+x)-x <=0 pour x>=0 en étudiant la fonction.
Par contre je sèche pour la 2b).

Posté par
LeHibou
re : Suites 22-10-20 à 22:35

Pour la 2b), tu déduis de 22a) que :
ln(1+xn) xn     (i)
Tu exprimes alors Vn,  en te souvenant que le ln d'un produit est égal à... ?
Enfin tu majores l'espression obtenue avec l'inéquation (i), et tu vas retrouver quelque chose de bien connu.

Posté par
lapilo
re : Suites 22-10-20 à 22:45

Pas certain de tout comprendre mais je me lance:

Vn = ln(Un)
Vn = ln( (1+k)(1+k2)...(1+kn)
Vn = ln(1+k) + ln(1+k²) + ... + ln(1+kn)

Si j'ai compris, on obtient alors:
ln(1+k) + ln(1+k²) + ... + ln(1+kn) <= k + k² + .... + kn
c'est bon pour le moment ?

Posté par
LeHibou
re : Suites 22-10-20 à 22:49

Oui, c'est exactement ça.
Ça te rappelle quelque chose ?

Posté par
lapilo
re : Suites 22-10-20 à 22:51

Or k+k²+...+kn est la somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique de raison k
elle peut s'exprimer de cette manière: (1-kkn)/(1-k) soit (1-kn+1)/(1-k)

Je n'obtiens pas le 1/(1-k)

Posté par
LeHibou
re : Suites 22-10-20 à 22:58

C'est l'esprit, mais ce n'est pas assez précis.
Tu peux écrire :
k + k² +...kn  = k(1 + k + k² +... kn-1)
Tu connais la somme entre parenthèses, tu aboutis donc à :
k(1-kn)/(1-k)
Ca n'est pas tout-à-fait le résultat cherché, mais on s'approche.
Souviens-toi que tu as 0 < k < 1
Peux-tu ten servir pour obtenir un encadrement du numérateur k(1-kn) ?

Posté par
lapilo
re : Suites 22-10-20 à 23:03

0<k<1 donc kn tend vers 0
ainsi le numérateur tend vers k, ce qui nous donne k/(1-k)
Je n'y suis pas encore !?

Posté par
LeHibou
re : Suites 22-10-20 à 23:10

Plutôt que de parler de limites, tu peux parler d'encadrement :
0 < k < 1      (i)
D'où
0 < kn < 1
-1 < -kn < 0
0 <  1 - kn < 1      (ii)
Et en combinant (i) et (ii) :
0 < k(1 - kn) < 1
D'où :
0 < k(1 - kn) /(1-k) < 1/(1-k)

Posté par
lapilo
re : Suites 22-10-20 à 23:22

Super, je comprends mais il faut aller le chercher loin...très loin !!
Encore merci!

Pour la suite,
Je sais que Vn = ln(Un)
La fonction ln est strictement croissante.
Or (Vn) est majorée donc (Un) l'est aussi.

Un+1 - Un = (1+kn)Un -Un = Un(1+kn-1) = Unkn
Unkn > 0 donc (Un) est croissante.

La suite (Un) est croissante et majorée donc elle converge.

Posté par
LeHibou
re : Suites 22-10-20 à 23:30

Oui !

Ou pour la croissance de Un, encore plus simple :
Un+1/Un = = 1+kn+1 > 1

Citation :
Super, je comprends mais il faut aller le chercher loin...très loin !!

Sinon ça serait pas drôle de faire des maths

Bonne soirée,
LeHibou

Posté par
lapilo
re : Suites 22-10-20 à 23:35

Sincères remerciements LeHibou pour ton aide et pour le temps que tu m'as accordés.

Bonne nuit !

Au plaisir

Posté par
LeHibou
re : Suites 22-10-20 à 23:38

Citation :
Sincères remerciements LeHibou pour ton aide et pour le temps que tu m'as accordés.

C'était un plaisir, à bientôt pour de prochaines aventures !



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