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Suites

Posté par
ki28
15-09-21 à 22:16

Bonjour, pourriez-vous m'aider à résoudre la question 2 de cet exercice s'il vous plaît, c'est assez pressé je ne comprends pas comment faire

1. Voici un script écrit en langage Python.

Def somme(N) :
          S=0
          for i in range (N):
                  S=S+i*(N-i)
           retient S

Quel résultat s'affiche dans la console si on on y entre l'instruction somme (3) ? somme (4) ?

2. On appelle Sp le résultat affiché quand l'argument N prend la valeur p, ou p est un entier naturel non nul.
Montrer que, pour tout entier p>=1:

Sp+1= Sp + (p(p+1)/2

J'ai realisé la question 1 en trouvant somme(3)= 4 et somme(4)=10

J'ai donc du mal pour la question 2

Posté par
phyelec78
re : Suites 15-09-21 à 22:58

Bonjour,

pour la question 2:

pour p=3

S3+1=S3+ 3(3+1)/2
soit
S4=4 + 6=10

Posté par
ki28
re : Suites 16-09-21 à 07:27

Bonjour, merci pour votre réponse mais le problème c'est qu'il ne faut pas montrer cela avec p=3 mais pour tout p>=1 du coup je pense que votre raisonnement n'est pas bon

Posté par
larrech
re : Suites 16-09-21 à 09:33

Bonjour,

Tu as

S_p=\sum_{k=1}^{p-1}{k(p-k)}

S_{p+1}=\sum_{k=1}^{p}{k(p+1-k)}

Calcule S_{p+1}-S_p

Posté par
ki28
re : Suites 16-09-21 à 13:40

Bonjour merci pour votre réponse,
Comme il s'agit d'une somme quel calcul fait t'il faire exactement lorsque que l'on fait Sp+1 -Sp?

Posté par
larrech
re : Suites 16-09-21 à 13:54

Tu peux soustraire terme à terme pour les mêmes valeurs de k (indiquées en bleu ci-dessous). Mais S_{p+1} a un terme de plus que S_p (celui pour lequel k=p)

S_{p+1}={\blue\sum_{k=1}^{p-1}{k(p+1-k)}}+p

S_p=\blue\sum_{k=1}^{p-1}{k(p-k)}

Posté par
ki28
re : Suites 16-09-21 à 17:28

D'accord merci, juste je ne comprends pas pourquoi il y'a + p à la fin de la somme de Sp+1 ?
Et on fait une simple différence entre Sp+1 et Sp ? Il n'y a pas de détail particulier de calcul à effectuer ?

Posté par
larrech
re : Suites 16-09-21 à 18:31

Tu es  bien d'accord que

S_{p+1}=\sum_{k=1}^{p}{k(p+1-k)}
(ce n'est que la transcription sous forme de formule mathématique de ce que dit le programme)

Il y a p termes (k prend successivement les valeurs 1, 2, ...p), le dernier, pour k=p, vaut  p(p+1-p)=p

Dans  S_p il n'y a que  p-1 termes

Il y a quand même un minimum de détails à écrire

S_{p+1}-S_p= \sum_{k=1}^{p-1}(k(p+1-k)-k(p-k))}+p=\sum_{k=1}^{p-1}k+p=\dfrac{p(p+1)}{2}

somme des p premiers entiers, selon la formule bien connue.

Posté par
ki28
re : Suites 16-09-21 à 18:32

Je n'arrive pas à effectuer Sp+1 - Sp également, je ne sais pas comment m'y prendre

Posté par
ki28
re : Suites 16-09-21 à 18:34

Je viens de voir votre réponse, merci pour votre aide, il y a rien d'autres à monter pour la question 2 du coup après ça, pas de justification supplémentaire ?

Posté par
larrech
re : Suites 16-09-21 à 18:47

Il faut bien expliquer qu'on fait la différence terme à terme des p-1 premiers termes de chaque somme.

Si tu veux voir ce qui se passe et mieux comprendre fait le calcul que j'ai essayé d'expliquer avec p=6 et p+1=7 par exemple.

Tu écris S7 sur une ligne, S6 juste en dessous et tu fais les différences des termes que tu écris dans la ligne en dessous.

Bon courage.

Posté par
ki28
re : Suites 16-09-21 à 18:49

D'accord merci

Posté par
larrech
re : Suites 16-09-21 à 18:50

Posté par
ki28
re : Suites 16-09-21 à 19:25

J'aie une dernière question, avec votre raisonnement doit on également montrer p(p+1)/2?

En faisant:

Sigma i= 1+2+..+(p-1) + p
                = p(p+1)/2

On m'a dit qu on pouvait montrer la question 2 en faisant cela ?

Posté par
ki28
re : Suites 16-09-21 à 19:26

J'ai*

Posté par
larrech
re : Suites 16-09-21 à 19:50

C'est exactement ce que j'ai écrit à 18h31 (dernière ligne)

\sum_{k=1}^{p-1}{k}+p=\sum_{k=1}^{p}{k}=1+2+...+(p-1)+p=p(p+1)/2

regarde attentivement, certaines sommes vont de 1 à p-1, d'autres de 1 à p.

Si tu n'es pas à l'aise avec les \sum{}, écrit les termes en clair en mettant des pointillés:

S_{p+1}= 1(p+1-1)+2(p+1-2)+...+k(p+1-k)+...+(p-1)(p+1-p+1)+p(p+1-p)

dito  pour S_p

Posté par
ki28
re : Suites 16-09-21 à 20:44

Ah oui d'accord je comprends mieux lorsque c'est rédigé de cette façon merci



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