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Niveau terminale
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Suites

Posté par
Duplombenor
01-10-22 à 14:17

Bonjour,
Exercice : Un = {\sqrt{n+1}}{} - {\sqrt{n}}{}
Montrer que pr tt n \geq 1:
n\geq {\sqrt{n^2-1}}{}

J'ai pensé qu'on pouvait utiliser le raisonnement par récurrence :

Initialisation : 1\geq {\sqrt{1^2 -1}}{}
\geq0
Initialisation validée
Hérédité :
Supposons que cette propriété est vraie pour
k\geq {\sqrt{k^2-1}}{}
Montrons qu'elle reste vraie pour k+1 : k+1\geq {\sqrt{(k+1)^2-1}}{}
Formule de l'énoncé
Uk = {\sqrt{k+1}}{} - {\sqrt{k}}{}
A partir d'ici je suis bloquée
Merci de votre aide

Posté par
hekla
re : Suites 01-10-22 à 14:21

Bonjour

Comme souvent, la comparaison de deux nombres revient à rechercher le signe de la différence

signe de n-\sqrt{n^2-1}

utilisez la quantité conjuguée

Posté par
co11
re : Suites 01-10-22 à 14:26

Bonjour,
il n'y a pas besoin de récurrence ici.
:
Pour 2 nombres a 0 et b 0 :
a b

Posté par
carpediem
re : Suites 01-10-22 à 14:27

salut

tout nombre positif est la racine carrée de son carrée ...

et c'est fini ...

Posté par
co11
re : Suites 01-10-22 à 14:29

Ah je n'ai encore pas penseé à vérifier s'il y avait d'autres réponses, désolée. Je vous laisse poursuivre.

Posté par
hekla
re : Suites 01-10-22 à 14:31

Qu'est-ce qu'une carrée ?

Posté par
carpediem
re : Suites 01-10-22 à 14:37

une faute de frappe !!

Posté par
Duplombenor
re : Suites 01-10-22 à 16:46

Merci pour vos réponse voilà la rédaction :
n2>= n2-1 donc n2>= {\sqrt{n^2-1}}{}
Cependant j'ai parfois du mal à raisonner de cette manière donc

hekla @ 01-10-2022 à 14:21


utilisez la quantité conjuguée

Je sais qu'il faut utiliser la quantité conjuguée pour enlever une racine du dénominateur pouvez vous m'expliquer comment l'utiliser ici s'il vous plaît

Merci

Posté par
hekla
re : Suites 01-10-22 à 16:56

On utilise l'identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2

l'une est la quantité conjuguée de l'autre.
On ne change rien si l'on multiplie par 1, c'est-à-dire si l'on multiplie et on divise par la même quantité.

a-b= a-b\times \dfrac{a+b}{a+b}=\dfrac{a^2-b^2}{a+b}

Ce qui donnerait ici :

n-\sqrt{n^2-1}=(n-\sqrt{n^2-1})\times \dfrac{n+\sqrt{n^2-1}}{n+\sqrt{n^2-1}}=\dfrac{n^2-(n^2-1)}{n+\sqrt{n^2-1}}=\dfrac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}

Il est manifeste que le dénominateur est strictement positif.

Posté par
Duplombenor
re : Suites 01-10-22 à 16:57

D'accord merci

Posté par
hekla
re : Suites 01-10-22 à 16:59

De rien

Posté par
carpediem
re : Suites 01-10-22 à 17:50

carpediem @ 01-10-2022 à 14:27

tout nombre positif est la racine carrée de son carrée ...

et c'est fini ...
ce qui se traduit par n = \sqrt {n^2}

or n^2 - 1 \le n^2 et la fonction racine carrée est (strictement) croissante sur R+  argument indispensable pour conclure en terminale

donc c'est fini ... sans aucun calcul ...

Posté par
ty59847
re : Suites 01-10-22 à 22:27

La récurrence, c'est bien quand on voit une mécanique (facile) qui permet de passer du cas n au cas n+1.
Ici, faire apparaître des \sqrt{n+2} , ça va tenir du miracle.
La récurrence ne paraît vraiment pas une piste à explorer.



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