Bonjour ! Je bloque sur un dm de maths depuis quelques jours pouvez vous m'aidez ?

Enoncé :

Exercice 1 :

On considère l'expérience « de pensée » comportant une particule élémentaire ponctuelle A placée à l'origine d'une droite munie d'un repère (O; i) à l'instant t = 0

À partir de la 1èreseconde, et
chaque seconde suivante, la particule A effectue un bond en avant dont la longueur varie selon la regle : « la longueur du bond à l'instant n secondes est : Un = 1/2^n ul. où 1 u.l. = une unité de longueur »

1/a) On note Sn la distance totale parcourue par la particule A entre les instants 1 seconde et n secondes. Exprimer Sn en fonction de n.

J'ai répondu : Sn = 1/2 + 1/4 + …. + 1/2^n

b) Déterminer la limite de la suite (Sn) n>_ 1

J'ai répondu : on déduit que la somme est une somme d'une suite géométrique de raison 1/2
On a donc : Sn = (1-q^n+1)/(1-q)
Après un rapide calcul de limite j'ai trouvé que lim Sn = 1

c) Déterminer le nombre minimum de secondes au bout duquel la particule A dépasse la distance de 0,999 u.l (Utilisez deux méthodes :
-1- un tableau de valeurs donné par la calculatrice

J'ai trouvé que la particule dépassait à partir de 11s :
n = 1 Sn= 0
N = 5. Sn = 0,9375
N = 11. Sn = 0,999
N = 12.  Sn = 0,9995

-2- un programme « de dépassement de seuil » en python.
Vous imprimerez, puis collerez dans votre copie une saisie d'écran de l'exécution dans Google colab de votre programme)

J'ai mis :
Sn = 0
N = 1
While Sn<0.999 :
       Sn = Sn + 1/2**N
       N= N+1
Print(N)

2/ On considère à nouveau l'expérience décrite au 1/. Mais ici la longueur du bond à l'instant n secondes  est Un = 1/n ul.
La distance parcourue par la particule A, entre les instants 1 seconde et n
secondes, est : Hn = somme de n avec k=1 de 1/k.  La suite (Hn) est appelée série harmonique.

a) Écrire un programme en Python déterminant l'instant à partir duquel la particule aura parcourue une distance suppérieure à 5 u.l., puis donner cet instant.

Pour ce programme j'ai mis :
H = 1
N = 1
While H < 5 :
     H = H + 1/n
     N = N +1
Print(N)
Ca ma renvoyer 32s donc au bout de 32s la particule dépasse 5ul

b) Au bout de combien de temps la particule s'arrêtera-t-elle ?

Elle ne s'arrêtera jamais

En attendant suffisamment longtemps, la particule finira-t-elle par dépasser n'importe quelle distance ou existe-t-il une distance quelle ne dépassera jamais ?

En attendant suffisamment longuement, elle dépassera toute distance

Proposer une conjecture (exprimée mathématiquement) répondant à cette interrogation.

J'ai donc conjecturé :
lim Hn = +

c) Démontrer votre conjecture.

Indication : On pourra regrouper les bonds par paquets Pk = [2^(k+1)]somme[n=2^k  + 1]
Montrer que Pk ≥ 1/2  pour tout k appartenant à N  puis sommer ces paquets.

Et bien c'est la où je bloque , je ne sais pas dutout par où commencer en réalité ….
J'ai essayé et essaye mais je comprends pas comment montrer que c'est > a 1/2

Merci pour votre réponse éventuelle bonne soirée