Bonjour ! Je bloque sur un dm de maths depuis quelques jours pouvez vous m'aidez ?
Enoncé :
Exercice 1 :
On considère l'expérience « de pensée » comportant une particule élémentaire ponctuelle A placée à l'origine d'une droite munie d'un repère (O; i) à l'instant t = 0
À partir de la 1èreseconde, et
chaque seconde suivante, la particule A effectue un bond en avant dont la longueur varie selon la regle : « la longueur du bond à l'instant n secondes est : Un = 1/2^n ul. où 1 u.l. = une unité de longueur »
1/a) On note Sn la distance totale parcourue par la particule A entre les instants 1 seconde et n secondes. Exprimer Sn en fonction de n.
J'ai répondu : Sn = 1/2 + 1/4 + …. + 1/2^n
b) Déterminer la limite de la suite (Sn) n>_ 1
J'ai répondu : on déduit que la somme est une somme d'une suite géométrique de raison 1/2
On a donc : Sn = (1-q^n+1)/(1-q)
Après un rapide calcul de limite j'ai trouvé que lim Sn = 1
c) Déterminer le nombre minimum de secondes au bout duquel la particule A dépasse la distance de 0,999 u.l (Utilisez deux méthodes :
-1- un tableau de valeurs donné par la calculatrice
J'ai trouvé que la particule dépassait à partir de 11s :
n = 1 Sn= 0
N = 5. Sn = 0,9375
N = 11. Sn = 0,999
N = 12. Sn = 0,9995
-2- un programme « de dépassement de seuil » en python.
Vous imprimerez, puis collerez dans votre copie une saisie d'écran de l'exécution dans Google colab de votre programme)
J'ai mis :
Sn = 0
N = 1
While Sn<0.999 :
Sn = Sn + 1/2**N
N= N+1
Print(N)
2/ On considère à nouveau l'expérience décrite au 1/. Mais ici la longueur du bond à l'instant n secondes est Un = 1/n ul.
La distance parcourue par la particule A, entre les instants 1 seconde et n
secondes, est : Hn = somme de n avec k=1 de 1/k. La suite (Hn) est appelée série harmonique.
a) Écrire un programme en Python déterminant l'instant à partir duquel la particule aura parcourue une distance suppérieure à 5 u.l., puis donner cet instant.
Pour ce programme j'ai mis :
H = 1
N = 1
While H < 5 :
H = H + 1/n
N = N +1
Print(N)
Ca ma renvoyer 32s donc au bout de 32s la particule dépasse 5ul
b) Au bout de combien de temps la particule s'arrêtera-t-elle ?
Elle ne s'arrêtera jamais
En attendant suffisamment longtemps, la particule finira-t-elle par dépasser n'importe quelle distance ou existe-t-il une distance quelle ne dépassera jamais ?
En attendant suffisamment longuement, elle dépassera toute distance
Proposer une conjecture (exprimée mathématiquement) répondant à cette interrogation.
J'ai donc conjecturé :
lim Hn = +
c) Démontrer votre conjecture.
Indication : On pourra regrouper les bonds par paquets Pk = [2^(k+1)]somme[n=2^k + 1]
Montrer que Pk ≥ 1/2 pour tout k appartenant à N puis sommer ces paquets.
Et bien c'est la où je bloque , je ne sais pas dutout par où commencer en réalité ….
J'ai essayé et essaye mais je comprends pas comment montrer que c'est > a 1/2
Merci pour votre réponse éventuelle bonne soirée
Je viens de m'apercevoir d'une boulette que j'ai faite : Pour la 2c)
Indication : On pourra regrouper les bonds par paquets Pk= Somme allant de n=2^k+1 à 2^(k+1)
De 1/n = 1/(2^k + 1) + 1/(2^k + 2) + ….. + 1/(2^(k+1)
Montrer que Pk > 1/2 puis sommer ces paquets
J'avais oublié quelques infos …..
salut
c'est plus lisible quand on écrit tout l'énoncé puis les réponses ensuite
montre que
ensuite prend
Donc je fais H2n - Hn = 1/(n+1) + …. + 1/(2n) > n/2n = 1/2
C'est ça ?
Ensuite je prends n = 2^k + 1
Donc on a H2^(k+1) + 1 - H2^k +1 > 2^k+1/2 x 2^k + 1
En simplifiant : on a > 1/2
(Désolé pour Lecriture je n'arrive pas bien à mettre tout en fraction et tout)
oui et même il n'y a plus besoin de l'indication car n est plus général (entier quelconque) que 2^k + 1 (entier particulier)
D'accord merci
Maintenant que je sais que c'est > 1/2
Comment savoir si ça diverge vers + l'infini ?
Faudrais t-il montrer que Hn est croissante ?
Comme ça on aurait une suite qui est minorée mais pas majorée et croissante
Donc par obligation elle diverge ??
parce que (et c'est ce que le sujet fait avec l'entier compliqué 2^k + 1
il prend donc n = 2^k et quand on somme les termes de alors tu remarqueras que équivalent à 2 * n = 2n
et on constate que
et que si on ajoute toujours 1/2, 1/2, ...à la fin quelle est la limite ?
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