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Suites adjacentes et limites

Posté par
Blair26
11-01-15 à 16:05

Bonjour,
Je crée ce topic car je suis bloquée à une question de mon DM.
Il s'agit de déterminer une limite de deux suites via le théorème des suites adjacentes.
Je ne parviens pas à déterminer que (Yn -Xn), qui est égal à (Xn-Yn)^2/2(Xn+Yn), converge vers 0.
Pourriez-vous me donner des pistes svp sans pour autan m'énoncer la réponse clairement (ce qui ne me servirait pas je pense) ?
Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suites adjacentes et limites 11-01-15 à 16:11

Bonjour

Bien sur que je ne peux rien répondre sans connaitre l'énoncé!

Posté par
Blair26
re : Suites adjacentes et limites 11-01-15 à 16:22

Excusez moi je ne savais pas par où commencer.
Alors :
X0 = 1 et Xn+1= 2XnYn/Xn+Yn
Y0=Alpha et Yn+1=Xn+Yn/2

1) montrer par récurrence ue (Xn) et (Yn) sont bien définies et sont deux suites à termes strictement positifs.
2) a) montrer pour  tout n appartenant à grand N, Yn+1-Xn+1=(Xn-Yn)^2/2(Xn+Yn)
    b) montrer pour tout n appartenant à grand N, Xn<=Yn
3) étudier le sens de variation de (Xn)
4) a) étudier le sens de variation de (Yn)
    b) montrer à l'aide de 2) et 3) que (Yn) est minorée par 1
    c) que peut-on en deduire pour (Yn) ?
5) montrer que (Xn) est une suite convergente
6) montrer que (Xn) et (Yn) convergent vers la même limite l
7) montrer que la suite (XnYn) est constante
8) En déduire la valeur de l

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suites adjacentes et limites 11-01-15 à 16:42

Je suppose que X_{n+1}=2X_nY_n/(X_n+Y_n) et Y_{n+1}=(X_n+Y_n)/2 et non ce que tu as écrit.

Vu ta question, je pense que ton problème est en 6). Maintenant tu sais que (Y_n) est décroissante et minorée par 1, et que (X_n) est croissante majorée par exemple par Y_0. Elles sont donc convergentes, de limites X et Y et on est surs que X+Y\neq 0 (c'est à cause de ça que j'a demandé l'énoncé).

Alors en passant à la limite dans Y_{n+1}-X_{n+1}=\dfrac{(X_n-Y_n)^2}{2(X_n+Y_n)} on trouve

Y-X=\dfrac{(X-Y)^2}{2(X+Y)}

Je te laisse démontrer que ceci entraine X=Y

Posté par
Blair26
re : Suites adjacentes et limites 11-01-15 à 17:36

Oui j'ai oublié les parenthèses désolé.
Merci de m'avoir aidé mais j'ai essayé de résoudre l'équation mais je ne parviens pas à obtenir un résultat.
J'ai seulement l^2-l'^2 + 2ll' = 0

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suites adjacentes et limites 12-01-15 à 15:16

l'-l=\dfrac{(l-l')^2}{2(l+l')}

Si l'-l\neq 0 on simplifie...

Posté par
Blair26
re : Suites adjacentes et limites 13-01-15 à 19:32

Bonsoir
Veuillez m'excuser de ma réponse tardive
Je n'ai pas réussi à résoudre l'équation malheureusement je ne parviens pas à obtenir l=l'

Posté par
etniopal
re : Suites adjacentes et limites 13-01-15 à 19:47

Si y > 0 , x > 0 , x y et (y - x) = (x - y)²/(x + y) alors 1 = (y - x)/(x + y) donc x + y = y - x , et x =... ?

Posté par
Blair26
re : Suites adjacentes et limites 13-01-15 à 20:12

Je ne comprends pas ce n'est pas plutôt (y-x)=(X-y)^2/(2(X+y)

Posté par
etniopal
re : Suites adjacentes et limites 13-01-15 à 20:42

J'ai oublié le 2 !

Si (y - x) = (x - y)²/2(x + y) et x y alors (y - x) = (x - y)²/2(x + y) alors 2(x + y) = y - x donc y + 3x = 0 .

Posté par
Blair26
re : Suites adjacentes et limites 13-01-15 à 21:08

Je vais peut-être paraître bete mais je ne comprends pas comment on passe de (x-y)^2/2(x+y) à 2(x+y)=y-x

Posté par
etniopal
re : Suites adjacentes et limites 14-01-15 à 00:00


Si x y et si y - x =(x - y)²/2(x + y) = (y - x)²/2(x + y) alors , en divisant des 2 côtés par y - x qui n'est pas nul , 1 =(y - x)/2(x + y) donc 2(x + y) = y - x



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