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Niveau Licence Maths 1e ann
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suites arithmetique et geometrique

Posté par
jokobis
26-07-17 à 16:12

Bonsoir à tous
Merci de m'avoir ajouté sur ce site.
J ai un exercice qui me fatigue et j aimairai votre aide pour le resoudre.
Voici l enoncé

trois nombres se trouvent etre en progression geometriques.on retranche 2 au premier,8 au deuxieme et 24 au troisieme.on se retrouve en face de trois nombre de progression arithmetique de total 36.Calculer les trois initiaux.

cordialement

Posté par
flight
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 16:21

salut

x,y,z  sont les 3 nombres ,
x
y= q.x
z = y.q = q².x

ensuite on a  
x-2
y-8 = q.x-8
z-24 = q².x-24

on a   (x-2)+(q.x-8) + (q².x-24) = 36
et    q.x - 8 = (x-2) +r
         (q²x - 24) = (q.x-8)+ r  = (x-2)+2r

Posté par
Schtromphmol
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 16:28

Bonjour,

L'énoncé manque de clarté, pourriez-vous retranscrire l'énoncé original tel quel ?
Ces nombres sont-ils des entiers, est-ce le total des nombres qui vaut 36 ou le total de la progression arithmétique (ce qui n'a pas beaucoup de sens).

Cordialement

Posté par
jokobis
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 16:36

Merci pour l intervention
j'avoue que c'est ainsi que le devoir est reformulé.Cependant je voulais juste préciser que c'est le total de la progression arithmétique qui fait 36
Merci bien à vous

Posté par
Schtromphmol
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 17:20

Bon ça ne répond pas vraiment à ma question, j'imagine que les nombres sont des entiers.

Soient a,b et c des entiers relatifs en progression géométrique i.e. il existe u entier relatif tel que c = bu et b = au.
On pose x = a - 2, y = b - 8 et z = c - 24. On suppose que x, y et z sont en progression arithmétique i.e. il existe v entier relatif tel que z = y + v et y = x + v. De plus x + y + z = 36 (j'imagine que c'est ce que vous vouliez dire).
Trouver les valeurs possible de a,b et c.

Voilà ce que j'entends par énoncé clair.

Une fois que ceci est posé on peut résoudre l'exercice en cherchant des equations faisant intervenir les différentes inconnues.

Posté par
larrech
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 17:38

Bonjour,

Premier nombre a=10,
raison de la progression géométrique q=2,
de la raison arithmétique r=4 .

??

Posté par
larrech
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 17:53

Evidemment méthode artisanale, j'ai fait l'hypothèse qu'il s'agissait d'entiers, et cherché sur un tableur les valeurs entières de  

 \frac{280}{n^2+3}

en faisant varier n, également entier de 1 à 20.

Mais y a-t-il d'autres solutions ??

Posté par
Glapion Moderateur
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 18:13

le système posé par flight se résout.
on trouve q=2 , r=4 et x=10

il y a aussi q=1/2 ; r = -26 , x = 40 que l'on ne garde pas si on ne veut que des valeurs entières (ce qui n'est pas dit dans l'énoncé d'ailleurs !).

Posté par
Schtromphmol
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 18:25

Je trouve aq = 20 et a(1+q²) = 50, donc a et q sont nécéssairement positifs.
a divise 20 et 50 donc a vaut 1, 2, 5 ou 10. on vérifie que 1,  2 et 5 ne sont pas possibles donc a = 10, q = 2 et r = 4 (on vérifie que ça marche) est la seule solution. Sauf erreur.

Posté par
Schtromphmol
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 18:28

Oui effectivement si on ne se limite pas aux entiers on se retrouve à résoudre une équations du second degré en q et on trouve 2 valeurs possibles.

Posté par
Razes
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 19:04

Bonjour,

Soient x_1, x_2, x_3 les trois termes successifs de cette suite. Cette suite est géométriques, donc: x_1x_3=x_2^2   (1)

x_1-2, x_2-8, x_3-24 sont les trois termes successifs d'une suite arithmétiques,donc: (x_1-2)+(x_3-24)= 2(x_2-8)\Leftrightarrow x_1-2 x_2+x_3=12   (2)

De plus nous avons la conditions sur la somme de la suite arithmétiques, qui est:
(x_1-2)+(x_2-8)+(x_3-24)= 36\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3=70 (3)

(2) et (3) nous permettent de trouver x_2=\frac{58}{3}; x_1+x_3=\frac{152}{3}
 \\

On a aussi : x_1x_3=x_2^2=\left (\frac{58}{3}\right )^2

Donc x_1 et x_3 sont les deux racines de l'équation du second degré x^2-\frac{152}{3}x+\left (\frac{58}{3}\right )^2=0  qu'il suffit de résoudre.

Posté par
Razes
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 19:18

x_1,=\frac{76}{3}-2\sqrt{67};x_3=\frac{76}{3}+2\sqrt{67}

ou

x_3,=\frac{76}{3}-2\sqrt{67};x_1=\frac{76}{3}+2\sqrt{67}

Avec: x_2=\frac{58}{3}

Posté par
Schtromphmol
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 21:16

Razes Petite erreur de calcul sur le (2), c'est plutôt :
(x_1 - 2) + (x_3 - 24) = 2(x_2 - 8) \Leftrightarrow x_1 - 2 x_2 + x_3 = 10.

Posté par
Razes
re : suites arithmetique et geometrique 26-07-17 à 21:44

Schtromphmol @ 26-07-2017 à 21:16

Razes Petite erreur de calcul sur le (2), c'est plutôt :
(x_1 - 2) + (x_3 - 24) = 2(x_2 - 8) \Leftrightarrow x_1 - 2 x_2 + x_3 = 10.

Tu a raison, merci, je me disais bien pourquoi j'ai des valeurs des solutions compliquées.

Donc: x_2=20
x_1+x_3=50 avec x_1x_3=400

Meme facon pour résoudre l'equation du second degré:x^2-50x+400=0

D'où: x_1=10; x_3=40 et x_1=40; x_3=10

Posté par
nadiasoeur123
re : suites arithmetique et geometrique 27-07-17 à 14:12

Bonjour ;

Les trois nombres initiaux forment une suite géométrique de raison q et de premier terme x ,

donc les trois nombres sont : x ; qx \quad et \quad q^2x .

On a aussi : x-2;qx-8 \quad et \quad q^2x-24 formant une suite arithmétique de premier terme x-2 et de raison r ,

donc on a : qx-8=x-2+r \quad et \quad q^2x-24 = x-2+2r

donc : (x-2) + (x-2+r)+(x-2+2r) = 3x-6+3r = 36

\Rightarrow 3(x+r)=42 \Rightarrow x+r=14 \Rightarrow r=14-x

donc qx-8=x-2+14-x=12 \Rightarrow qx = 20

donc q^2x-24 = 20q-24 = x-2+28-2x \Rightarrow 20q=-x+50

donc : x=50-20q

donc : 50-20q + 50q-20q^2 + 50q^2-20q^3-34 = 36 \Rightarrow -20q^3+30q^2+30q=20

\Rightarrow -2q^3 + 3q^2 + 3q = 2 \Rightarrow 2q^3 - 3q^2 -3q + 2 = 0

C'est une équation de troisième degré , qui admet une racine évidente qui est : 2 ,

donc en divisant 2q^3 - 3q^2 -3q + 2 par q-2 , on obtient : 2q^3 - 3q^2 -3q + 2 = (q - 2)(2q^2+q-1)

donc l'ensemble des racines de l'équation sus mentionnée est : \mathfrak S = \left \{ -1;\dfrac{1}{2};2\right \} .

Conclusion :

Pour q= -1 on a : x = 50+20 =70  ;  qx = -70  ;  q^2x = 70 .

Pour q= 1/2 on a : x = 50 - 10 = 40  ;  qx = 20  ; qx^2 = 10 .

Pour q = 2 on a : x = 50 - 40 = 10  ;  qx = 20  ;  qx^2 = 40 .

Posté par
Razes
re : suites arithmetique et geometrique 27-07-17 à 16:09

Bonjour nadia,

Citation :
Pour q= -1 on a : x = 50+20 =70  ;  qx = -70  ;  q^2x = 70 .
n'est pas une solution. Vérifie la solution pour la partie suite arithmétique. Calcule (x_2-8)-(x_1-2) et (x_3-24)-(x_2-8), normalement tu dois avoir la même raison r.

Posté par
nadiasoeur123
re : suites arithmetique et geometrique 27-07-17 à 16:49

Bonjour ;

Tu as raison : j'avais oublié que c'était une implication et qu'il fallait vérifier les solutions obtenues .

Posté par
Razes
re : suites arithmetique et geometrique 27-07-17 à 16:54

Récapitulatif.

Soient x_1, x_2, x_3 les trois termes successifs de cette suite. Cette suite est géométriques, donc: x_1x_3=x_2^2   (1)

x_1'=x_1-2, x_2'=x_2-8, x_3'=x_3-24 sont les trois termes successifs d'une suite arithmétiques, donc: x_3'+x_1'=2x_2'\Leftrightarrow (x_1-2)+(x_3-24)= 2(x_2-8)\Leftrightarrow x_1-2 x_2+x_3=10   (2)

De plus nous avons la conditions sur la somme de la suite arithmétiques, qui est:
x_1'+x_2'+x_3'=(x_1-2)+(x_2-8)+(x_3-24)= 36\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3=70  (3)

(2) et (3) nous permettent de trouver x_2=\frac{70-10}{3}=20; x_1+x_3=\frac{150}{3}=50

On a aussi : x_1x_3=x_2^2=20^2=400

Donc x_1 et x_3 sont les deux racines de l'équation du second degré x^2-50x+400=0  qu'il suffit de résoudre.

\Delta =50^2-4*400=900=30^2; D'où: x_1=10; x_3=40 ou x_1=40; x_3=10

Les solutions pour (x_1, x_2, x_3)  sont (10, 20,40) et  (40, 20,10)

Posté par
jokobis
re : suites arithmetique et geometrique 28-07-17 à 12:55

Merci beaucoup pour la réponse .
C'est très gentil
Cordialement

Posté par
Razes
re : suites arithmetique et geometrique 28-07-17 à 16:55

Avec plaisir.



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