Bonjour à tous !
Je bute sur le dernier exercice de mon DM. Si une âme charitable voulait bien m'aider...
Allez c'est parti !
Exercice 3:
1°) On pose f(x)= (3x-4)/(x-1) Etudier le sens de variation de f sur ]2;4]
<< Bon celui-ci j'ai réussi quand même ^^
2°) On considère la suite (un) défine par u0=0 et un+1=(3un-4)/(un-1) et la suite (vn) définie par vn=1/(un-2)
a)Montrer par récurrence enn utilisant 1°) que pour n1, on a: un]2;4].
En déduire que (un) et (vn) sont définies pour tout n de
b)Montrer que (vn) est arithmétique.
En déduire vn en fonction de n puis un en fonction de n.
c)Etudier le sens de variation de (un). Donner lim un
d)On pose sn=vi. Exprimer sn en fonction de n.
En déduire lim sn.
Voilà, merci à tous ceux qui prendront la peine de m'aider.
Siouplait, donnez moi au moins un fil conducteur car je suis totalement perdu. Je n'ai pas réussi à prouver par récurrence et j'arrive encore moins les questions suivantes...
Soit P(n) la propriété de récurrence pour laquelle Un]2;4]
n=1
U1 = 4
4]2;4]
P(1) vraie
On suppose que la propriété est vraie au rang n i.e.
2 < Un 4
f(2) < f(Un) f(4)
2 < Un+1 8/3
2 < Un+1 4
et P(n+1) vraie
donc la propriété est vraie pour tout n de *
donc pour tout n de * Un]2;4]
Merci, j'avais quasiment bon pour la récurrence, juste une erreur bête à la fin.
Sinon, pour les autres questions une idée ?
Et merci encore
Un défini pour tout n car Un - 1 ne s'annule jamais
Vn défini pour tout n car Un > 2 et Un - 2 ne s'annule jamais
Vn est arithmétique?
J'ai trouvé pour Vn arithmétique.
En fait maintenant c'est surtout cette question là qui me bloque:
d)On pose sn=vi. Exprimer sn en fonction de n.
En déduire lim sn.
ah j'ai trouvé
Vn+1 = 1/(Un+1)-2
= Un -1/ Un -2
= Un -2 +1 / Un -2
= Un -2 / Un -2 + 1 / Un-2
= 1 + Vn
Vn est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme V0 = 1/U0 - 2 = -1/2
pour la somme des termes de Vn va sur
https://www.ilemaths.net/maths_1_suites_cours.php
pour la formule
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