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Suites et Algo (77 page 70)

Posté par
Max2323
04-01-21 à 16:20

Bonjour, j'aurais besoin d'une correction de cet exercice si possible, j'arrive à résoudre une partie mais comme c'est un exercice "type" j'aimerais avoir un corrigé auquel me référer.  Je crois que beaucoup d'élèves vont rechercher cet exo à partir de cette année car il est dans le manuel du nouveau programme:

Le ***page *** du manuel de spécialité Maths Terminale, collection *****

Une biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à 12 000 individus en 2020. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60 000 individus.

Partie A. Un premier modèle

Dans une première approche, la biologiste estime que la population croît de 5 % par an. L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite (vn), où v(n), représente le nombre d'individus, exprimé en millier, l'année (2020+ n). On a donc vo = 12.

1. Déterminer la nature de la suite (vn) et donner l'ex- pression de v(n), en fonction de n.
2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?

Partie B. Un second modèle

La biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite (un) définie par u(0)= 12 et, pour tout entier naturel n, un+1 = ((-1,1)/(605))u(n)²+1,1u(n).


1. On considère la fonction g définie sur R par:

g(x) =  ((-1,1)/(605))x²+1,1x.
On a ainsi : Un+1 = g(u(n)).

a. Justifier que g est croissante sur [0; 60].
b. Résoudre dans R l'équation g(x)= x.

2. a. Calculer la valeur arrondie à 10³ de u(1). Interpréter.
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 ? un ? 55.
c. Démontrer que la suite (un) est croissante.
d. En déduire la convergence de la suite (un).
e. On admet que la limite l de la suite (un) vérifie
g(l)=l. En déduire sa valeur et l'interpréter dans le
contexte de l'exercice.

3. La biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les
50 000 individus avec ce second modèle. Recopier
puis compléter l'algorithme ci-dessous afin que la
variable n contienne la réponse au problème donné en fin d'exécution.

n <? 0
u <? 12
Tant que ...
           u <? ?
           n <? ?


Merci d'avance

Posté par
malou Webmaster
re : Suites et Algo (77 page 70) 04-01-21 à 17:08

Bonjour et merci pour cet énoncé, mais....

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q01 - Que dois-je faire avant de poster une question ?

Posté par
haroninou
re : Suites et Algo (77 page 70) 04-01-21 à 18:41

Bonsoir, j'aimerais également avoir la correction de ce sujet si possible,
Merci d'avance

Posté par
carita
re : Suites et Algo (77 page 70) 04-01-21 à 18:59

bonjour

haroninou
dans son message, malou demande les premières recherches qui ont été faites.
les intervenants ne distribuent pas les réponses, mais accompagnent les élèves.

Posté par
Max2323
re : Suites et Algo (77 page 70) 06-01-21 à 20:05

Bonjour, excusez-moi j'avais en effet mal lu les règles, je m'en excuse.

Voici ce que j'ai trouvé pour cet exercice. Je suis bloqué à la question 2.b

Merci d'avance pour votre aide précieuse!

Partie A

1. (vn) est une suite géométrique car on a une augmentation de la population de 5% par an ce qui revient à multiplier par 1+(5/100)=1,05
v(n)=v(0)*qn    v(n)=12x(1,05)n
(vn) est donc une suite géométrique de raison q=1,05 et de premier terme v(0)=12

2. lim 12x(1,05)n= +∞
Ainsi, ce modèle ne répond pas aux contraintes du milieu car il permet de dépasser les 60 000 individus puisqu'il tend vers l'infini.


Partie B un

1. a. Je bloque sur cette question. On doit utiliser la dérivée ?

b. On pose g(x)=x et on factorise par x.
Puis produit de facteurs nuls égale à 0.
S= 0 et 55

2. a. u(1)=-1,1/605*122+1,1*12= 12,938
Je ne sais pas quoi mettre pour l'interprétation

Ensuite je n'arrive pas à faire la b, c et d et je bloque à la récurrence car je trouve que
un((-1,1/605)+1,1) ≥ un+1≥un

d. Théorème des suites monotones

Posté par
carita
re : Suites et Algo (77 page 70) 06-01-21 à 20:44

bonsoir Max2323

Partie B. suite (un) définie par u(0)= 12 et, pour tout entier naturel n, un+1 = ((-1,1)/(605))u(n)²+1,1u(n).


1.  g(x) =  ((-1,1)/(605))x²+1,1x.
On a ainsi : Un+1 = g(u(n)).

a. Justifier que g est croissante sur [0; 60].
tu peux... normalement pour étudier la variation d'une fonction, on dérive.
mais là, tu as une fonction du second degré, donc tu peux éviter de dériver...
Fonction polynôme de degré 2 et parabole

1b oui

2a oui
tout simplement : au terme de la 1ère année, il y a environ 12938 individus

Posté par
carita
re : Suites et Algo (77 page 70) 06-01-21 à 20:49

b.
P(k) : 0 un 55   hypothèse de récurrence
montrer que ....? (rédige)

pars de l'hypothèse de récurrence, puis exploite le résultat de 1a)

c. Démontrer que la suite (un) est croissante.
j'étudierais le signe de un+1 - un = ...

d. exploite 2b et 2c...

Posté par
carita
re : Suites et Algo (77 page 70) 06-01-21 à 21:01

j'ai oublié : la partie A est ok

et pour 2c) pense à jeter un œil sur 1b)

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