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suites et récurrence

Posté par
oumy1
02-11-21 à 05:34

Bonsoir,
Cet exercice fait partie d'un dm, mais j'ai de grosses difficultés de compréhension. Merci de bien vouloir m'aider.

" Le maître d'école s'appelait Büttner et il aimait rosser ses élèves. Il feignait d'être sévère et ascétique, et, en quelques rares occasions, l'expression de son visage révélait le plaisir qu'il prenait à les rouer de coups[...] Cela se passait dans le quartier le plus pauvre de Brunswick, aucun de ces enfants n'irait jamais à l'école secondaire, personne ici ne travaillerait autrement qu'avec ses mains. Gauss avait beau se taire et s'évertuer à répondre aussi lentement que les autres, il percevait la méfiance du maître. Il sentait que ce dernier n'attendait qu'une occasion de le frapper un peu plus fort que le reste du groupe. Et un beau jour, il lui fournit cette occasion.
Büttner leur avait demandé d'additionner tous les nombres de un à cent. Cela prendrait des heures, et même avec la meilleure volonté du monde, ce n'était pas possible sans faire à un moment ou à un autre une erreur de calcul, pour laquelle on pouvait alors être puni. [...] Gauss ne réussit pas à se contrôler ce jour là et au bout de trois minutes, il s'était retrouvé devant le pupitre du maître, avec son ardoise.
Bon, dit Büttner, et il saisit le bâton. Qu'est-ce que c'est que ça ?
Cinq mille cinquante.
Quoi ?
Gauss se racla la gorge: C'était pourtant bien cela qu'il fallait faire, dit-il, additionner tous les nombres de un à cent. Cent plus un faisaient cent un. Quatre-vingt dix-neuf plus deux faisaient cent un. Quatre-vingt dix-huit plus trois faisaient cent un. Toujours cent un. On pouvait répéter l'opération cinquante fois. Donc : cinquante fois cent un. "
Daniel Kehlmann, Les arpenteurs du monde, Actes Sud, 2006
1)La somme des n premiers entiers est Sn=1+2+3+....+n=???
La démonstration par récurrence a déjà été faite.

2)a) Calculer les sommes U1=13;
    U2=13+23 ;
    U3=13+23+33;
    U10=13+23+33+....+103.
b)Voyez vous une formule apparaitre?
c)Essayer de démontrer la formule obtenue par récurrence.

1) Je  ne sais pas quoi répondre

2)a) U1+13+1
U2=13+23=1+8=9
U3=13+23+33=36
U10=13+23+33+...+103=3055
si c'est exact je ne  vois pas ce qu'il faut faire ensuite.

Posté par
Yzz
re : suites et récurrence 02-11-21 à 07:28

Salut,

Pour la question 1, il y a quelque chose de curieux :
"La démonstration par récurrence a déjà été faite. " et "Je  ne sais pas quoi répondre" : ???

Pour la question 2, c'est un peu subtil : il faut chercher le lien avec la question 1...
Une petite aide :

1 = 1²
9 = (1+2)²
36=(1+2+3)²
...
3055=(1+2+...+10)²

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suites et récurrence 02-11-21 à 07:31

Bonjour,
Tu as fait une erreur de calcul pour u10.
Tu ne remarques rien sur les trois autres ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suites et récurrence 02-11-21 à 07:33

Bonjour Yzz
Je te laisse poursuivre.
Attention, ce n'est pas 3055.

Posté par
oumy1
re : suites et récurrence 02-11-21 à 08:27

Bonjour Yzz et Sylvieg, merci de votre gentillesse.
Pour la question 1) "la démonstration a déjà été faite" est une phrase de l'énoncé mais nous ne l'avons pas fait.
Je suis désolé mais je suis perdu je ne comprends pas la relation entre le 1) l'expression au carré et celle au cube  hormis le résultat pour les deux dernières qui est 3025.
Jai vraiment besoin d'explications,  merci d'avance.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suites et récurrence 02-11-21 à 08:38

Tu es certain que la question 1) n'a pas déjà été traitée en cours ou dans un autre exercice ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suites et récurrence 02-11-21 à 08:41

Sinon, calcule aussi S1, S2, S3, S10.

Posté par
oumy1
re : suites et récurrence 02-11-21 à 12:39

Non  nous n'avons rien vu au niveau de la question 1).
Pour calculer S1, S2, S3 et S10, il faut utiliser la formule somme mais on a pas la raison.
Je ne comprends rien , je suis perdu

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suites et récurrence 02-11-21 à 14:01

S1 = 1
S2 = 1+2
S3 = 1+2+3
S10 = 1+2+3+ ... +10
Tu ne sais pas faire ces calculs ?

Posté par
oumy1
re : suites et récurrence 03-11-21 à 07:29

Je constate que la somme (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)2=3025 et 13+23+33+43+53+63+73+83+93+103=3025.
mais je ne sais pas quoi faire après pour obtenir une formule pour faire la récurrence.
J'ai vraiment besoin d'aide, je suis perdu. Merci d'avance.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suites et récurrence 03-11-21 à 07:48

Bonjour,
Sans le résultat de la question 1), tu peux difficilement traiter la question 2).

Citation :
1)La somme des n premiers entiers est Sn=1+2+3+....+n=???
As-tu la réponse de cette question ?

Posté par
oumy1
re : suites et récurrence 03-11-21 à 15:13

Bonjour,
Sn=1+2+3+.....+n= 1+n c'est ça ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suites et récurrence 03-11-21 à 15:29

La réponse n'est pas n+1 car, par exemple,
S3 = 1+2+3 = 6. Ce qui n'est pas égal à 1+3.
On va donc s'occuper de cette question d'abord.

Tu as vu en première une formule pour la somme des termes d'une suite arithmétique.
Tu as même sans doute vu la formule pour la somme des n premiers entiers dont il est s'agit dans la question 1).
Voir 4. Somme des n premiers termes dans Tout ce qui concerne les suites arithmétiques

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suites et récurrence 03-11-21 à 15:34

Citation :
1+2+3+.....+n = 1+n
2+3+..... est passé à la trappe ?
Franchement je ne comprends pas comment tu peux penser que cette égalité est correcte.

Posté par
oumy1
re : suites et récurrence 03-11-21 à 20:51

Excusez moi Sylvieg mais cela fait plus de 2 jours que cet exercice" me prend la tête ". J'ai complétement Bugué.
1+2+3+......+n = (n(n+1))/2 c'est ça ? ???
Et après pour le 2) comment trouver la formule pour faire la récurrence ?  Merci d'avance

Posté par
oumy1
re : suites et récurrence 03-11-21 à 20:54

Je dois l'envoyé demain

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suites et récurrence 03-11-21 à 20:57

Tu veux démontrer un = (Sn)2
Vu l'expression de Sn de ton dernier messge, ça revient à démontrer
un = (n(n+1)/2)2.
Tu vas le démontrer par récurrence.
Dans ce but, il faut commencer par trouver une relation entre un+1 et un.
Cherche à compléter cette égalité : un+1 = un + ??

Posté par
oumy1
re : suites et récurrence 03-11-21 à 22:02

Merci Sylvieg,
Je vais essayé tout à l'heure de faire la récurrence et je vous l'enverrai

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suites et récurrence 03-11-21 à 22:49

Tu n'arriveras pas à faire la récurrence sans avoir complété un+1 = un + ??
A demain.



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