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Niveau terminale
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Suites exercices

Posté par
User141120
02-11-21 à 10:14

Bonjour !
J'ai des difficultés avec l'un des exercices de mon devoir maison, si quelqu'un peut m'éclaircir ça serait super :

Soit a un nombre réel fixé.
Le but de cet exercice est d'étudier le suite u définie par : u(0)=a et, pour tout n de N, u(n+1)=e**2u(n)-e**u(n).

A l'aide des questions précédentes, j'ai pu déduire que
u(n+1)-u(n)>= 0 et donc, que u(n) est croissante.

J'ai aussi démontré que u(n+1)=e**u(n)*(e**u(n)-1)
Pour cette question, on suppose que a<=0:
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u(n)<=0

J'ai posé la proposition
P(n):"pour tout n sur N, u(n)<=0"

J'ai fait l'initialisation :
Pour n=0, u(0)=a et a<=0 donc u(0)<=0 alors P(0) est vraie

Mais c'est pour l'hérédité où j'ai eu le plus de mal :
On suppose qu'il existe un entier k>=0, tel que P(k) soit vraie, soit que u(k)<=0. Démontrons que u(k+1)<=0.

J'ai essayé de partir de l'hypothèse de récurrence mais je me retrouve avec u(k+1)<=e**u(k)-1 et je n'arrive pas à savoir si  e**u(k)-1<= 0 quand a<=0.

Du coup, je suis partie de e**u(k)>0 pour avoir une inégalité avec u(k+1)
e**u(k)>0
<=> e**u(k)-1>-1
<=> e**u(k)*(e**u(k)-1)>-e**u(k)
<=> u(k+1)>-e**u(k)
Je sais que -e**u(k)<0 mais je ne peux pas faire le théorème de majoration pour montrer que u(k+1)<0 parce que
u(k+1)>-e**u(k)...

Je n'arrive pas à trouver mon erreur même après cinq re-lectures.
Merci d'avoir pris le temps de lire mon post en espérant que vous puissiez me donner un coup de pouce !  

Posté par
larrech
re : Suites exercices 02-11-21 à 10:44

Bonjour,

Tu tournes gentiment en rond.

Il suffit de comparer   e^{u_n} et 1 quand u_n<0 , étant entendu que e^{u_n} est toujours positif

Posté par
User141120
re : Suites exercices 02-11-21 à 10:53

Donc, si j'ai bien compris, on fait :

e**u(k)<=1 car u(k)<=0
<=> e**u(k)-1<=0
<=>  e**u(k)*(e**u(k)-1)<=0
<=> u(k+1)<=0

Je me suis compliquée la vie pour rien en faite ^^'

Merci beaucoup pour la réponse !
Et bonne journée

Posté par
larrech
re : Suites exercices 02-11-21 à 10:59

Citation :
e**u(k)<=1 car u(k)<=0
<=> e**u(k)-1<=0
<=>  e**u(k)*(e**u(k)-1)<=0 , car eu(k)>0
<=> u(k+1)<=0


Oui, tu t'étais bien compliqué la vie... Bonne journée.

Note au passage qu'il y a, en bas de la fenêtre de saisie, tout ce qu'il faut pour écrire les puissances, indices, etc. correctement.

Posté par
User141120
re : Suites exercices 02-11-21 à 11:03

Merci pour l'astuce ^^

Posté par
larrech
re : Suites exercices 02-11-21 à 12:54



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