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suites intégration 91

Posté par
Nelcar 30-04-21 à 18:22

Bonjour,
Le prof nous a donné 4 exercices à faire pour lundi (non noté). Hier nous avions cours de maths et je ne suis pas arrivée à me connecter donc je n'ai pas le cours (et je n'y comprend rien). Merci d'avance pour votre aide

voici le premier exercice :
Soit (In) la suite définie sur * par :In= n+1 n  1/x dx
1) donner un encadrement de 1/x sur [n ; n+1)
2) démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,  1/(n+1) In1/n
3) en déduire la limite de la suite (In)
4) retrouver le résultat précédent en calculant In

je ne sais pas comment m'y prendre et ce qu'il faut faire
j'ai calculé uniquement l'intégrale et j'ai obtenu ln(n+1) - ln(n)

MERCI de m'aider et surtout de m'expliquer

Posté par
malou Webmasterre : suites intégration 91 30-04-21 à 18:28

Bonsoir
1) tu démontres cela avec tes programmes antérieurs, rien à voir avec l'intégration
2) théorème de la positivité (cours d'intégration) voir 4. de cette fiche Intégrale : un cours complet de terminale avec des exemples toujours la même )

Posté par
heklare : suites intégration 91 30-04-21 à 18:35

Bonjour Nelcar

si x\in[n~; ~n+1]  alors \dfrac{1}{n+1}\leqslant \dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{1}{n}

Maintenant on intègre

\int_n^{n+1}\dfrac{1}{x+1}\mathrm{d}x\leqslant I_n\lesqlant \int_n^{n+1}\dfrac{1}{n}\mathrm{d}x

n+1-n=1

3) voir la maréchaussée

4 I_n=\ln (n+1)-\ln n=\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)

Je vous laisse conclure quant à la limite

Posté par
Nelcarre : suites intégration 91 30-04-21 à 20:04

Bonjour

Hekla : je suis désolée mais je n'y comprend pas grand chose
je n'arrive même pas à donner un encadrement de 1/x de {n;n+1]   c'est ce que vous avez fait dans la première ligne ?
je suis bête mais pourquoi avoir mis voir la maréchaussée

et si vous pouviez aussi m'expliquer pour les limites


MERCI

Posté par
heklare : suites intégration 91 30-04-21 à 20:31

N'avez-vous pas entendu parler du théorème des gendarmes ?

La fonction inverse est une fonction décroissante sur ]0~;~+\infty[ donc si

n\leqslant x  $ alors $ \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{1}{n}

c'est ce que j'ai fait pour la première question  

n\leqslant x\leqslant n+1 \Rightarrow \dfrac{1}{n+1}\leqslant \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{1}{n}


question 2 on intègre

\int_n^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\mathrm{d}x\leqslant I_n\leqslant \int_n^{n+1}\dfrac{1}{n}\mathrm{d}x

La variable d'intégration étant x \dfrac{1}{n+1} est une constante donc

\int_n^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\mathrm{d}x=\left[\dfrac{1}{n+1}x\right]_n^{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\left(n+1-n\right)=\dfrac{1}{n+1}

On démontre de même que

\int_n^{n+1}\dfrac{1}{n}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{n}

d'où l'inégalité   I_n est encadrée par deux suites tendant vers 0 donc I_n tend vers 0

Posté par
Nelcarre : suites intégration 91 30-04-21 à 21:01

alors là j'ai bien du mal.....

pour la limite je met quoi alors?

et l'exercice me demande de retrouver le résultat précédent en calculant In ? Comment faire

MERCI

Posté par
heklare : suites intégration 91 30-04-21 à 21:17

Si u,\  v et w  sont 3 suites telles qu'à partir d'un certain rang u<v<w et si \lim u=\lim w =\ell alors \lim v=\ell

la suite I_n converge vers 0

4 I_n=\int_n^{n+1}\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\left[\ln(x)\right]_n^{n+1}=\ln(n+1)-\ln n

\ln (n+1)-\ln n=\ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)

lorsque n tend vers +\infty \quad \dfrac{1}{n} tend vers 0  donc 1+\dfrac{1}{n}  tend vers 1

or \ln 1=0

\lim_{n\to +\infty} I_n= \lim_{n\to +\infty}\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=0

Posté par
Nelcarre : suites intégration 91 30-04-21 à 21:33

ok

je vais revoir ce week-end cet exercice car trop dur pour moi

MERCI

Posté par
heklare : suites intégration 91 30-04-21 à 21:44

S'il y a des questions n'hésitez pas

je pense que vous faites une montagne d'un monticule de taupe  

Posté par
Nelcarre : suites intégration 91 30-04-21 à 21:51

ok

je reviens vers vous sûrement ce week-end

Je termine pour ce jour les 3 exercices, j'en ai un quatrième que je regarderai demain car je commence à fatiguer

Bonne soirée et encore un Grand MERCI

Posté par
heklare : suites intégration 91 30-04-21 à 21:55

Sans problème

Posté par
malou Webmasterre : suites intégration 91 01-05-21 à 09:48

rebonjour

personnellement, je pense que plutôt que de lire des démonstrations toutes faites, ce serait bien que Nelcar applique ce qu'elle a appris les années antérieures, sinon, ça n'avance pas ....
je le dis dès ma 1re réponse....il y a longtemps qu'on sait faire ça

suites intégration 91

et puis en terminale, on doit apprendre à rédiger proprement une question qui relève d'un des théorèmes de la positivité. A ne pas écrire soi même, la mémorisation va être plus qu'imparfaite.

Posté par
Nelcarre : suites intégration 91 01-05-21 à 11:24

ok

je vais reprendre ce week-end

MERCI BEAUCOUP


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