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suites monotones

Posté par catluc (invité) 27-11-05 à 20:06

Bonsoir,

voila un exercice que je n'arrive pas à résoudre

Soit U(n) la suite définie dans N par u0=4 et pour tout n dans N , u n+1= 1/4 un + 5

1) Démontrer par récurrence que la suite (Un) est croissante et majorée par 7

2)En déduire que (Un) est convergente et déterminer sa limite


J'ai juste réussi en calculant u1,u2,u3,u4 à dire que u1<u2<u3 donc qu'elle est croissante
mais j'arrive pas à le faire par récurrence ....

Merci d'avance

Posté par
Nightmare
re : suites monotones 27-11-05 à 20:17

Bonsoir

1) Connais tu le principe de réccurence ? montre que U(n+1)-U(n)> 0 est vrai pour n=0 et que si elle est vraie au rang n, elle l'est au rang n+1
Pareil pour la majoration

2) (Un) est croissante et majorée donc convergente (théorème usuel). Ainsi (Un) vérifie le théorème du point fixe

Posté par catluc (invité)re : suites monotones 27-11-05 à 20:38

Mais que vaut u(n) ?

Posté par
Nightmare
re : suites monotones 27-11-05 à 20:43

On ne sait pas mais ça ne nous dérange pas pour la démonstration.

Posté par catluc (invité)re : suites monotones 27-11-05 à 20:59

Merci j'ai réussi tout le 1) il ne reste plus qu'à déterminer sa limite . Je dois faire comment ?

Posté par
Nightmare
re : suites monotones 27-11-05 à 20:59

Tu n'as pas vu le théorème du point fixe ?

Posté par catluc (invité)re : suites monotones 27-11-05 à 21:00

Non ou il était pas appelé comme ca

Posté par
Nightmare
re : suites monotones 27-11-05 à 21:03

Bon alors voyons ça comme ça :

(Un) converge. En appelant l sa limite, on a alors
3$\rm \lim U_{n}=l
donc
3$\rm \lim \frac{1}{4}U_{n}+5=\frac{1}{4}l+5
c'est à dire :
3$\rm \lim U_{n+1}=\frac{1}{4}l+5
Mais comme (Un) converge vers l, on a aussi
3$\rm \lim U_{n+1}=l
Par unicité de la limite on en déduit que l vérifie l'équation
3$\rm \frac{1}{4}l+5=l

Posté par catluc (invité)re : suites monotones 27-11-05 à 21:05

Donc lim Un = 20/3 quand x tend vers + infini ?

Posté par
Nightmare
re : suites monotones 27-11-05 à 21:07

Oui c'est bon

Posté par
Nightmare
re : suites monotones 27-11-05 à 21:07

Par contre c'est lorsque n tend vers +oo et non x

Posté par catluc (invité)re : suites monotones 27-11-05 à 21:08

Merci

Posté par
Nightmare
re : suites monotones 27-11-05 à 21:09



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