Note : après le U désignant la suite , ce qui est noté entre parenthèse
est considéré comme un indice. U(n+1) est la suite U d'indice n+1.

Soit U la suite définie par U(0) = 1 et la relation de récurrence U(n+1)
= 1 + (1/Un) pour n entier naturel.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 1 ≤ Un ≤ 2
2. Montrer que la suite (U(2n)) est croissante et que la suite (U(2n+1) est
croissante.
3. En déduire que les deux suites (U(2n) et (U(2n+1) convergent respectivement
vers ℓ0 et ℓ1.
4. Montrer que ℓ0 et ℓ1 sont solutions de l'équation

x = 1 + 1/[1+(1/x)]

En déduire la valeur de ℓ0 et ℓ1.

5. Montrer qu'alors la suite (Un) converge vers

ℓ = (1 +   5) / 2