Niveau Reprise d'études

Suites / séries

Posté par
sheigh 25-02-20 à 10:21

Bonjour à toutes et tous,

Voici mon exercice, je vous remercie par avance pour votre aide.

p est un entier naturel fixé.
Pour tout entier naturel n non nul, on pose $Un=\frac{1}{\begin{pmatrix} n+p\\ n \end{pmatrix}}$ , où p désigne un entier naturel fixé.

1)Montrer que si p=0 ou si p=1, la série de terme général Un diverge.

On suppose dans la suite que p est supérieur ou égal à 2 et on pose pour n^*, $\sum_{k=1}^{n}{Uk}$ .

2a) Montrer que pour tout n , (n+p+2)U_n+2=(n+2)U_n+1

b) En déduire par récurrence sur n que $Sn=\frac{1}{p-1} (1-(n+p+1)Un+1)$

3a) On pose Vn=(n+p+1)Un+1. Montrer que la suite (Vn) est décroissante.

b) En déduite que la suite (vn) converge et que sa limite l est positive ou nulle

c) Utiliser le résultat précédent pour montrer que la série de terme général Un converge et donner la somme en fonction de p et de l.

4) On suppose dans cette question seulement que l0.

a) Montrer qu'au voisinage de +, Un $\sim \frac{~l}{n}$

b) En déduire une contradiction avec la 3ème question.

5) Donner la valeur de l et en déduire en fonction de p, la somme de la série de terme général Un.

Réponses:

1) *p=0, Un= $\frac{1}{\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}}$
=1

*p=1Un= $\frac{1}{\begin{pmatrix} n+1\\ n \end{pmatrix}}$
or $\begin{pmatrix} n+1\\ n \end{pmatrix}$ = $\frac{(n+1)!}{n!*(n+1-n)!}$
= $\frac{(n+1)!}{n!} =\frac{n!*(n+1)}{n!} = n+1$
Un= $\frac{1}{n+1}$

Dans les 2 cas , Riemann, =1 Un diverge.

2)a)Un+1= $\frac{1}{\begin{pmatrix} n+1+p\\ n+1 \end{pmatrix}}$
or $\begin{pmatrix} n+1+p\\ n+1 \end{pmatrix}$ = $\frac{(n+1+p)!}{(n+1)!*p!}\Rightarrow Un+1=\frac{(n+1)!*p!}{(n+1+p)!} \Rightarrow (n+2)*Un+1=\frac{(n+2)*(n+1)!*p!}{(n+1+p)!}$

Un+2= $\frac{1}{\begin{pmatrix} n+2+p\\ n+2 \end{pmatrix}}$
or $\begin{matrix} n+2+p\\ n+2 \end{matrix}$ = $\frac{(n+2+p)!}{(n+2)!*(n+2+p-n-2)!}\Rightarrow Un+2=\frac{(n+2)!*p!}{(n+2+p)!} \Rightarrow (n+p+2)*Un+2=\frac{(n+p+2)*(n+2)!*p!}{(n+2+p)!} \Rightarrow (n+p+2) Un+2=\frac{(n+p+2)*(n+2)*(n+1)!*p!}{(n+2+p)*(n+1+p)!} \Rightarrow (n+p+2) *Un+2 =\frac{(n+2)*(n+1)*p!}{(n+1+p)!} = (n+2)*Un+1$

b) récurrence pour tout n

initialisation : n=0, S₀= $\frac{1}{p-1}*(1-(0+p+1)U1)$
S₀= $(\frac{p}{p-1})* U1 avec U1=\frac{1}{\begin{pmatrix} 1+p\\ 1 \end{pmatrix}}$
$\begin{pmatrix} 1+p\\ 1 \end{pmatrix} = \frac{(1+p)!}{1*(1+p-1)!} = (1+p) \Rightarrow U1=\frac{1}{(1+p)}$

hérédité:
Sn= $Sn+1 = \frac{1}{p-1}*(1-(n+1+p+1)*Un+2 \Rightarrow Sn+1=\frac{1}{p-1}*(n+1+p+1)*Un+2 \Rightarrow Sn+1=\frac{1}{p-1}*(1-(n+2+p)*Un+2) =(n+2)Un+1 \Rightarrow Sn+1=\frac{1}{p-1*(1-(n+2)*Un+1}$

3a) Vn+1=(n+1+p+1)*Un+2=(n+2+p)*Un+2=(n+2)*Un+1
Vn+1-Vn = (n+2)Un+1-(n+p+1)Un+1 = Un+1*(n+2-n-p-1)=Un+1*(-p+2)
or p2(-p+2)0 (Vn) est décroissante.

Posté par re : Suites / séries 28-02-20 à 09:56

Posté par re : Suites / séries 28-02-20 à 14:01

Bonjour,

Mais quelle est ta question ?

Posté par re : Suites / séries 28-02-20 à 14:07

Bonjour,

lake @ 28-02-2020 à 14:01

Bonjour,

Mais quelle est ta question ?

A savoir si les réponses sont dans la bonne direction et une aide pour la suite.

Merci.

Posté par re : Suites / séries 28-02-20 à 14:41

1) Oui pour $p=0$ , $S_n=n$

et pour $p=n$ , $S_n$ est la série harmonique.

Elles divergent.

2)a) Du petit calcul; je te fais confiance.

2)b) La récurrence. L'initialisation ne va pas $(S_n)$ n'est définie qu'à partir de $n=1$

L'hérédité; je te fais confiance aussi: ou ça marche ou ça marche pas.

3)a) Une erreur $v_{n+1}-v_n=-(p-1)v_n \\$ ce qui ne change rien quant à la conclusion.

3)b)c) ne devraient pas te poser de difficultés.