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Niveau maths sup
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Sujet 1 Capes 2018

Posté par
Ramanujan
07-10-18 à 21:14

Bonsoir,

En attendant mon nouveau livre pour enfin avoir un vrai cours de mathématiques non truffé d'erreurs, je m'entraîne sur le sujet du CAPES de maths 1 2018.

J'aimerais votre avis sur mes réponses et un peu d'aide sur les questions où je bloque

Partie A : suites adjacentes.
Soit (a_n)_{n \in \N} une suite réelle croissante et (b_n)_{n \in \N} une suite réelles décroissante.

1/ Montrer que (a_n-b_n) est monotone et en déduire que \forall n \in \N : a_n \leq b_n

(a_n) est croissante donc \forall n \in \N : a_n \leq a_{n+1}
(b_n) est décroissante donc \forall n \in \N : b_n \geq a_{n+1}
Donc : -b_n \leq - b_{n+1}

Calculons :

(a_{n+1}-b_{n+1})-(a_n-b_n) = (a_{n+1}-a_n)+(b_n - b_{n+1}) \geq 0

Ainsi (a_n-b_n)_{n \in \N} est monotone : elle est croissante.

Il faut montrer que : a_n \leq b_n

Donc que a_n -b_n \leq 0

Je vois pas comment faire

Posté par
Poncargues
re : Sujet 1 Capes 2018 07-10-18 à 21:16

Il manque sans doute une partie de l'enoncé, en l'état c'est faux.

Posté par
Ramanujan
re : Sujet 1 Capes 2018 07-10-18 à 21:33

D'accord Poncargues.

L'énoncé est mal fait au début il font un rappel sur les suites adjacentes donc on a sûrement la condition (a_n) et (b_n) adjacentes.

Si elles sont adjacentes on a : \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (b_n - a_n)=0

(a_n-b_n) est une suite croissante ayant 0 pour limite. Elle est donc négative.

Faut le démontrer ?

Posté par
Poncargues
re : Sujet 1 Capes 2018 07-10-18 à 21:36

La condition a_n \leq b_n est usuellement incluse dans la condition que (a_n) et (b_n) sont adjacentes.

Si tu ne l'inclus pas, que tu prend uniquement disons
1) (a_n) croissante.
2) (b_n) décroissante
3) (a_n-b_n) tend vers 0

alors tu peux conclure comme tu l'as fait.

Posté par
Ramanujan
re : Sujet 1 Capes 2018 07-10-18 à 22:44

Ok

Je continue.

2/ Justifier que les suites (a_n) et (b_n) convergent vers une même limite l vérifiant : \forall n \in \N : a_n \leq l \leq b_n

J'ai fait :

Comme (a_n) est croissante et (b_n) décroissante on a :

a_0 \leq a_n \leq b_n \leq b_0

(a_n) est croissante et majorée par b_0 elle converge.
(b_n) est décroissante et minorée par a_0 elle converge.

Supposons que (a_n) converge vers l et (b_n) vers l' alors comme (a_n-b_n) converge vers 0 on a : l-l'=0
Soit l=l'

\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n -l = 0
(a_n-l) est croissante et elle converge vers 0 donc elle est négative.
a_n -l \leq 0 d'où : a_n \leq l

\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} b_n -l = 0
(b_n-l) est décroissante et elle converge vers 0 donc elle est positive.
a_n -l \geq 0 d'où : b_n \geq l

On a montré : \forall n \in \N : a_n \leq l \leq b_n

Posté par
Ramanujan
re : Sujet 1 Capes 2018 07-10-18 à 22:49

3/ On suppose que (a_n) et (b_n) strictement monotones. Montrer que : \forall n \in \N : a_n < l <b_n

Je vois pas trop comment faire pour ce cas.

Posté par
Poncargues
re : Sujet 1 Capes 2018 07-10-18 à 23:25

Passe à la limite en p dans l'expression a_n<a_{n+p}, par exemple.

Posté par
Ramanujan
re : Sujet 1 Capes 2018 07-10-18 à 23:33

Je comprends pas votre indication surtout que la limite transforme les inégalités strictes en inégalités larges.

Posté par
Poncargues
re : Sujet 1 Capes 2018 07-10-18 à 23:34

Et bien reflechis un peu!

Posté par
Ramanujan
re : Sujet 1 Capes 2018 08-10-18 à 00:01

Ce que j'ai fait

La suite (a_n) est strictement croissante elle est donc à fortiori croissante et on a :

\forall n \in \N : a_n \leq l

Supposons par l'absurde qu'il existe un rang N \in \N tel que : a_N = l

Or : a_N < a_{N+1} donc : l < a_{N+1}

Prenons un entier naturel n tel que : n > N+1

Alors : l < a_{N+1} < a_n

Par passage à la limite on trouve : l < a{N+1} \leq l soit l < l

Ce qui est absurde. Donc : \forall n \in \N : a_n < l

Posté par
Ramanujan
re : Sujet 1 Capes 2018 08-10-18 à 01:00

Partie II :

Pour un entier naturel non nul on pose : a_n=\sum_{p=0}^n \dfrac{1}{p!} et b_n = a_n + \dfrac{1}{n \times n!}

1/ Montrer que (a_n) et (b_n) sont adjacentes.
Trivial j'ai réussi.
a_{n+1}-a_n = \dfrac{1}{(n+1)!} \geq 0
b_{n+1}-b_n = \dfrac{-1}{n(n+1)(n+1)!} \leq 0
b_n -a_n = \dfrac{1}{nn!} \rightarrow 0

2/ Montrer que pour tout entier naturel non nul : e-a_n = \dfrac{1}{n!} \int_0^1 (1-t)e^t dt

J'ai fait une récurrence l'initialisation évidente en faisant une IPP. On trouve : e-a_1 = e-2

Je bloque dans l'hérédité à :

e - a_{n+1} = \dfrac{1}{n!} \int_0^1 (1-t)e^t dt - \dfrac{1}{(n+1)!}

Posté par
Poncargues
re : Sujet 1 Capes 2018 08-10-18 à 08:30

C'est simplement la formule de taylor.

Posté par
lionel52
re : Sujet 1 Capes 2018 08-10-18 à 13:18

Y a une puissance sur le (1-t)

Posté par
Ramanujan
re : Sujet 1 Capes 2018 08-10-18 à 13:52

Oui Lionel j'ai fait une erreur de frappe !

Finalement j'ai réussi en faisant une intégration par partie.



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