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sujet de bac complexes
Dans le plan complexe P rapporté au repere (O; 
;
), on considere les pts A et B d'affixe z(A)=-1
et z(b)=3i.
Soit la fonction f de P privée du point A dans P qui, atout point M d'affixe
z , associe le point M' d'affixe z' telle que:
z'=i[(z-3i)/(z+i)] (1)
1)soit C le point d'affixe z(C)=2-i
montrer qu'il existe un seul point D tel que f(D)=C
2) déterminer la nature du triangle ABC
3) A l'aide de l'égalité (1) montrer que tout point M distinct
de A et de B :
OM'=BM/AM et ( ;OM')= 
/2+(MA,MB) [2
]
Bonjour quand même 
- Question 1 -
Résolvons l'équation suivante :
2 - i = i (z - 3i)/(z + i)
(z + i)(2 - i) = i(z - 3i)
2z - iz + 2i + 1 = iz + 3
z(2 - i - i) = 3 - 1 - 2i
z = (2 - 2i)/(2 - 2i)
z = 1
L'équation admettant une unique solution, il existe un seul point D tel que
f(D)=C.
Et zD = 1.
- Question 2 -
On a :
AB = |zA - zB|
= |-1 - 3i|
= 
(1 + 9)
= 10
AC = |zA - zC|
= |-1 - 2 + i|
= |-3 + i|
= (9 + 1)
= 10
BC = |zB - zC|
= |-3i - 2 + i|
= |-2 + 4i|
= (4 + 16)
= 20
Comme BC² = AB² + AC², alors d'après la réciproque du théorème de
Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
- Question 3 -
On a :
en interprétant le module de z' :
|z'| = |i| |z - 3i|/|z + i|
= |z - 3i|/|z + i|
Donc :
OM' = BM/AM
en interprétant l'argument de z' :
arg z' = (; OM')
= arg( i (z - 3i)/(z + i)) (2)
= arg i + arg (z - 3i)/(z + i) (2)
= /2 + (AM, BM) (2)
= /2 + (MA, MB) (2)
OM', AM, BM, MA et MB sont ici des vecteurs bien sûr
Voilà voilà, bon courage 
...
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