Bonjour,

1ère remarque : demander la correction de tout un sujet sans y avoir réfléchi
et sans nous indiquer tes difficultés ne me semble pas très utile
pour toi.
2ème remarque : l'énoncé est incomplet : il manque la formule de
g(x).
3ème remarque : dire bonjour et ne pas commencer par "Voici mon exercice"
(sous entendu : à vous de travailler !!) est la moindre des choses.

Mais si malgré cela, quelqu'un veut t'aider, tant mieux pour
toi !

@+

Bonjour, j'ai des difficultés dans pratiquement tout l'exercice
mais j'y travaille.
Le voici :

PARTIE A- Etude de la fonction demande. Détermination de la quantité échangée
et du prix d'équilibre du marché

1.Déterminer la limite de g en + l'infini .
En déduire l'existence d'une asymptote que l'on précisera.

2. g ' désigne la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle
[0;+l'inf [.
Justifier que g'(x) = - 120 e^x/(e^x+15)² .
3.Déterminer le sens de variation de la fonction g sur [0;+l'inf [ puis dressez
le tableau de variation de g sur [0,+l'inf [ .
4.a) Reproduire sur la copie et compléter le tableau de valeurs ( arrondir
les résultats à 10^-1 ).
pr x =0 /0,5 / 2/3/3,5/4/5/6/7
g(x) =  
b) Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe Cg
au point d'abscisse 0 .
c) Tracer  la courbe représentative Cg et la tangente T sur le graphique.

5.On admet que sur l'intervalle [0; +l'inf [ l'équation
f(x) =g(x) a une solution unique notée q, appelée quantité échangée
.
On note p=f(q) =g(q) le prix d'équilibre correspondant .
a)Faire apparaitre sur le graphique les valeurs p et q.
b)Vérifier que q =ln25 . En déduire la valeur de p .

PARTIE B-Calcul du "surplus du consommateur "

1.D est le domaine du plan défini par :
M(x;y) / 0 <x<q et p<y<g(x)   *le < : c inférieur à ou égal à  
où p et q sont les valeurs déterminées dans la partie A-5 .
Hachurer ce domaine D sur le graphique .
2.Soit G la fonction définie sur l'intervalle [0; +l'inf [par
:
G(x) = 8[x - ln (e^x + 15 ) ]
Démontrer que G est une primitive de g sur [0;+l'inf [.
3.On appelle "surplus du consommateur " (en milliers d'euros) le
nombre :  

                     R =l'intégrale entre o et q de g(x) dx -pq

a)Justifier que R représente , en unité d'aire, l'aire du domaine D.

b)Calculer la valeur exacte de R.
c)Donner une valeur approchée de R à l'euro près .

PROBLEME -
La commercialisation d'un article sur un marché suit une fonction
d'offre notée f et une fonction demande notée g .
Elles sont définies sur l'intervalle [0,+l'inf[ par :
f(x) = (e^x-1)/8 et
g(x) = 120/(e^x+15)
où x représente la quantité exprimée en milliers d'articles , f(x)
représente le prix de vente exprimé en euros pour une quantité x
offerte et g(x) représente le prix de vente exprimé en euros pour
une quantité x demandée .
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;i,j )(unité graphique
:2cm).
On désigne respectivement par Cf et Cg les courbes représentatives des
fonctions f et g dans ce repère.
La courbe Cf est donnée un repère (O, i, j)  :
x         0    1          2        3      4    
f(x)    0  0.25    0.75   2.5   6.5

Merci beaucoup pour votre aide, je vous serai vraiment reconnaissant.

** message déplacé **

Bonsoir

Je pense que tu n'as pas lu la remarque de Victor
Tu ne nous donnes toujours pas l'expression de la fonction g

Bonsoir Océane, la fonction  g se trouve dans le problème mais je
t'accorde que ce n'est pas évident . En effet, elle ne
se voit pas tout de suite ! Merci d'avance pour ton aide .

J'ai trouvé l'expression de g

g(x) = 120/(e^x+15)

- Partie A -
- Question 1 -
e^x+15 +
120/(e^x+15) 0

Donc :
g(x) 0
quand x +


Au voisinage de +, la courbe représentative de la fonction
g admet une asymptote horizontale d'équation y = 0.


- Question 2 -
g est de la forme k/u qui a pour dérivée :
- (k u')/u²
avec u = e^x+15
et k = 120

Donc :
g'(x) = -120 e^x/(e^x+15)²


- Question 3 -
(e^x+15)² > 0
120 e^x > 0

Donc pour tout x appartenant à [0; +[, g(x) < 0
g est décroissante sur [0; +[.


- Question 4 - b) -
f'(0) = -120/16² = -15/32


- Question 4 - c) -
T a pour équation :
y = f'(0)(x - 0) + f(0)
= -(15/32)x + 15/2


La suite arrive

Je n'ai pas eu le courage de lire attentivement tout l'énoncé
et donc ce qui suit peut être remis en cause.  

La manière la plus directe de retrouver g à partir de l'énoncé
est d'intégrer la dérivée donnée dans le point 2 de l'exercice.

Mais ceci est litigieux.

D'abord on trouve: g(x) = 120/(e^x+15) + C  avec C une constante, il faudrait
trouver des conditions initiales pour déterminer cette constante.
Quelles sont-elles ?

Si c'était la manière attendue de déterminer g(x), alors la question:
"Justifier que g'(x) = - 120 e^x/(e^x+15)² " serait bizarre
puisque c'est de là qu'on serait parti pour retrouver g(x).


A moins que quelque chose ne m'échappe.  



  

- Partie B -
- Question 2 -
G(x) = 8[x - ln(e^x+15)]

En dérivant G, on obtient :
G'(x) = 8(1 - 8^x/(e^x+15))
= 8(e^x+15-e^x)/(e^x+15)
= 120/(e^x+15)
= g(x)

G est bien une primitive de g sur [0; +[.



- Question 3 - a) -
D est le domaine du plan défini par :
D = {M(x; y)/ 0xq et pyg(x)}


L'aire du domaine D est :
0q (g(x))dx - 0q (p)dx
= 0q (g(x))dx - pq
= R


- Question 3 - b) -
R = 0q (g(x))dx - pq
= [G(x)](entre 0 et q) - pq
= G(q) - G(0) - pq
= 8[ln 25 - ln(25+15) + ln 16] - 3 ln 25
= 16 ln 5 - 8 ln(5×2³)+8 ln 2⁴ - 6 ln 5
= 16 ln 5 - 8 ln 5 - 24 ln 2 + 32 ln 2 - 6 ln 5
= 2 ln 5 + 8 ln 2

Sauf erreurs de calculs

A toi de tout reprendre, bon courage ...