Bonjour, je propose ici le sujet du concours commun SUP 2007 des écoles des mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes. Il s'agit de l'épreuve Mathématiques 1 (toutes filières). Je l'avais initialement proposé comme fiche, mais cela demanderait un travail supplémentaire trop important à Océane que de traiter des sujets de concours.

Ceci étant dit, étant donné que certains des habitués sont dans l'optique de passer en prépa l'année prochaine et que quelques uns planchent déja sur des notions de sup, je propose le sujet pour ceux que ca intéressent. Cela peut tout aussi bien faire des révisions pour ceux déja en Sup

Bon courage

Durée de l'épreuve : 4 heures. L'emploi d'une calculatrice est interdit.


Premier Problème



Pour tout   on définit :
  et


Partie A - Généralités


1. Prouver que   et sont sur et que pour tout , .

2. Montrer que est prolongeable par continuité en 0 et que le prolongement (encore noté ) est dérivable en 0.

3. Faire un tableau de variations de sur , en faire un graphe sachant que à près.

4. Soit   la primitie sur de , s'annulant en 1 :  

4.a. Calculer H.  
4.b. En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1.  

5. Soit un entier naturel. On introduit l'équation : , d'inconnue .  

5.a. En utilisant la question 3, montrer que a une unique solution dans , que l'on notera . On montrerait identiquement (mais ce n'est pas à faire) que admet une unique solution dans , que l'on notera .  
5.b. Montrer que les suites et sont monotones.  
5.c. Est-il possible que l'une des deux suites converge vers une limite ? En déduire leurs limites.  


Partie B - Etude d'une courbe paramétrée


On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine O, la courbe paramétrée définie sur   par le point de coordonnées :


6. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles   se situe sur la première bissectrice du plan d'équation cartésienne y = x.

7. Etudier la limite de la pente de la droite   lorsque t tend vers et .

8. En utilisant la question 3, faire un tableau de variation de x et y sur avec limites aux bornes et .

9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que à près.


Partie C - Fonctions définies par des intégrales


On prolonge maintenant à   en posant .

10. Montrer que l'application ainsi prolongée est de classe sur   ; préciser et montrer que l'égalité de la question 1 reste valable pour t = 0.

11. Soit , on note :

, et   

11.a. Justifier l'existence de ces intégrales que l'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que  .  
11.b. En séparant l'intégrale G(x) en deux, montrer qu'il existe une constante C réelle telle que pour tout ,  
  
11.c. En déduire que G(x) est négligeable devant x au voisinage de ainsi qu'un équivalent de F(x) au voisinage de .

12. Résoudre sur   l'équation différentielle (E) : , l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction F.


Partie D - Etude qualitative d'une équation différentielle


On considère maintenant une application y solution de (E) :   cette fois sur , de classe sur . Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des   à partir de l'équation (E).

13. Que vaut ?

14. En dérivant (E), calculer   et .

15. Peut-on avoir y de la forme   avec ?

16. Soit n un entier naturel.

16.a. On suppose ici . Prouver à l'aide de la formule de Leibniz que pour tout :
  


En déduire une relation de récurrence entre   et .  
16.b. Donner une expression de utilisant une factorielle, valable pour tout ; en déduire les développements limités (dont on justifiera l'existence) de y à tout ordre au voisinage de 0.  



Deuxième Problème



Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs et le vecteur nul. est muni d'un repère orthonormal direct , toutes les équations de l'énoncé seront relatives aux éléments de ce repère. Si et   on pourra noter M=(x,y,z) et .

On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes :
P:, et Q:


Partie A - Etude d'un mouvement dans l'espace


Pour tout , on introduit le point N(t) de caractérisé dans par les coordonnées :


1. Prouver que N(t) appartient au plan P.

2. Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est-il possible que   ?

3. Calculer . En déduire que N(t) appartient à un cercle de P dont on précisera le centre et le rayon.

4. Calculer la distance N(t) à la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier que leur rapport est constant.

5. Prouver que pour tout   : .

6. En déduire l'isobarycentre des points .


Partie B - Construction d'un polynôme


On fixe maintenant et on note :


7. Simplifier s(t).

8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques p(t).

9. Calculer d(t) de deux manières différentes (on pourra utiliser un résultat de la question 3).  

10. On considère maintenant le polynôme , dont les racines sont donc a(t), b(t) et c(t) :  
10.a. Dans cette question seulement . Montrer sans calculer R(X) ni R'(X) que R'(0)=0.  
10.b. Exprimer maintenant R(X) en fonction de s(t), d(t), p(t), puis en fonction des résultats des questions précédentes.


Partie C - Endomorphismes à noyau imposé


11. Montrer que P définit un plan vectoriel de E.

12. Est-ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q.

13. On introduit les vecteurs :

; ;   

Montrer que   est une base orthonormale de P et que en est un vecteur normal. En déduire que est une base orthonormale de l'espace.

14. On désigne par   le produit scalaire de deux vecteurs et . Soit . Prouver, autrement que par "c'est du cours", que ses coordonnées dans la base B' sont données par :



15. On considère ici une application linéaire   telle que .  
15.a. Prouver qu'il existe   tel que pour tout .  
15.b. Réciproquement, montrer qu'une application u donnée par la formule précédente est un endomorphisme de E tel que  .  
15.c. Donner une condition nécessaire et suffisante sur   pour que . Donner dans ce cas le rang et l'image de u.


Partie D - Matrices de projecteur


On note ici le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base et la base introduite à la question 13. On introduit les matrices :

et

16. Justifier très rapidement que M' est la matrice de p dans la base B'.

17. Donner la matrice de passage P de la base B à la base B' ainsi que son inverse (on détaillera le raisonnement pour cette dernière).

18. Soit M la matrice de p dans la base B :  
18.a. Justifier sans calcul que M²=M.  
18.b. En déduire que pour tout ,
  
  

18.c. Exprimer M en fonction de P, P^-1 et M'. Ensuite, calculer explicitement M.  

19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On introduit l'ensemble   des matrices du type , où a et b sont réels :  
19.a. Montrer que l'ensemble muni des lois usuelles sur les matrices a une structure de -espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.  
19.b. Les réels a et b étant donnés, exprimer   en fonction de P, P^-1, I et M'. En déduire une formule factorisée du déterminant de ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit inversible.  
19.c. Déterminer les réels e et f tels que .  
19.d. Lorsque est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de    

Fin de l'épreuve


Voila, sauf problème