Une partie de ce sujet sur les coccinelles a été traité ici

bonsoir
permettez moi de vous répondre.


f(x)=kx(1-x)

U(n+1)=f(Un)  

0<Un<1
1. Demontrer que si la suite (un) converge, alors sa limite l verifie
la relation f(l) = l.  ?

f étant continue car c'est polynome donc :

limf(Un)=f(limUn) en +oo

de la relation U(n+1)=f(Un)   on en déduit en passant à la limite dans
les deux membres:

limU(n+1)=limf(Un) en +oo
comme limf(Un)=f(limUn) en +oo

donc

limU(n+1)=f(limUn) en +oo

donc si Un converge vers l=limUn

alors l=f(l).


2. Supposons Uo= 0,4 et k = 1.  
(b) Etudier le sens de variation de la suite (un).  ?

f(x)=x(1-x)=x-x²

U(n+1)=Un-Un²

donc

U(n+1)-Un = -Un²<0 car qq soit n Un²>0

donc qq soit n U(n+1)<Un

Un est donc décroissante.


(c) Montrer par recurrence que, pour tout entier n, 0 <=Un<= 1.  ?


f(x)=x-x² sa dérivée est f'(x)=1-2x
f' s'annule en xo=1/2
f'(x) est strictement négative sur ]1/2,+oo[
f'(x) est positive strictement sur [0,1/2[

donc f est strictement décroissante sur ]1/2,+oo[
et f est strictement croissante sur [0,1/2[

maintenant on va montrer la récurence:
Uo=0,3 donc 0<Uo<1
supposons que 0<Un<1

si 1/2<Un<1

comme f est décroissante alors:

f(1)<f(Un)<f(1/2)

comme f(1)=1.(1-1)=0  et f(1/2)=1/2(1-1/2)=1/4

donc 0<f(Un)<1/4<1

si 0<Un<1/2 alors f est croissante et on a:

f(0)<f(Un)<f(1/2)  ; avec f(0)=0 et f(1/2)=1/4

donc 0<f(Un)<1/4<1

donc dans tous les cas 0<f(Un)<1

comme U(n+1)=f(Un)

donc 0<U(n+1)<1

donc on a démontré par récurence que :
qq soit n 0<Un<1

(d) La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite
?  

comme (Un) est décroissante et minorée par 0 donc elle converge.

soit l sa limite.

d'après la question 1) on a l=f(l)

ssi l=l-l²
ssi l²=0
ssi l=0

(e) Que peut-on dire de l'´evolution a long terme de la population
de coccinelles avec ces  hypotheses ?  

avec ces hypothèses la population des coccinelles va disparaitre à long
terme.


3. Supposons maintenant u0 = 0,3 et k = 1,8.  
(b) Etudier les variations de la fonction f sur [0, 1] et montrer que
f(1/2) appartient à [0,1/2].

f(x)=1,8x(1-x)

f'(x)=1,8-3,6x

f'(x)=0 ssi x=1/2
f'(x) est strictement négative sur ]1/2,1]
f'(x) est positive strictement sur [0,1/2[

donc f est strictement décroissante sur ]1/2,1]
et f est strictement croissante sur [0,1/2[

f(1/2)=1,8.0,5.0,5=0,45<0,5 donc f(1/2) apprtient à [0,1/2].

(c) En utilisant eventuellement un raisonnement par recurrence,  
- montrer que, pour tout entier naturel n, 0<=Un<=1/2  ?
Uo=0,3 donc 0<Uo<1/2

supposons que 0<Un<1/2

sur [0,1/2] f est croissante donc

f(0)<f(Un)<f(1/2)

comme f(0)=0 et f(1/2)<1/2 donc

0<f(Un)<1/2

comme U(n+1)=f(Un) donc

0<U(n+1)<1/2

donc on a montré par récurence que
qq soit n 0<Un<1/2.


- etablir que, pour tout entier naturel n, Un+1 >=Un  ?

U1=f(Uo)=1,8.0,3.0,7=1,26.0,3=1,26Uo

donc U1>Uo

supposons que Un>U(n-1) comme
0<U(n-1)<1/2 et 0<Un<1/2
0<U(n-1)<Un<1/2

sur [0,1/2] f est croissante donc:

f(0)<f(U(n-1))<f(Un)<f(1/2)

donc f(U(n-1))<f(Un) donc Un<U(n+1)

donc nous avons montré par récurence que:

qq soit n : Un<U(n+1)

(d) La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite
?  
la suite Un est donc croissante et majorée par f(1/2) donc elle converge.

soit l sa limite.

l vérifie :

l=1,8l(1-l) ssi l=1,8l-1,8l²
                   ssi 0=0,8l-1,8l²
                   ssi l(0,8-1,8l)=0
                   ssi l=0 ou l=0,8/1,8=8/18=4/9

(e) Que peut-on dire de l'evolution a long terme de la population
de coccinelles avec ces hypotheses ?  

l=4/9 étant non nulle la population des coccinelles tends à se stabiliser
à long terme vers 0,4444444 millions.

voila bonsoir et bon courage