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Symbole de Legendre
Posté par AitOuglif
Bonjour
Pourquoi n'est-il pas considéré comme un carré dans
pour
premier différent de
? Est-ce simplement pour que la notation de Legendre soit cohérente?
Je me demande également comment prouver que le symbole fournit un morphisme de
sur
?
J'arrive facilement à montrer que le quotient de par les carrés est isomorphe à
mais j'ai du mal à conclure?
Bonjour,
Parce que l'histoire se passe dans le groupe multiplicatif de . Tu parles d'homomorphisme, mais il s'agit bien sûr d'un homomorphisme du groupe multiplicatif de
dans le groupe additif
, ou mieux dans le groupe multiplicatif
.
Merci GBZM pour ta réponse. Ah oui, c'est clair comme ça. Oui bien sûr pour les opérations 
. Pour la deuxième question je vais chercher.
Je pars du simple homomorphisme du groupe multiplicatif (=
), qui à
associe
.
Son image, ce sont les carrés de (que je note
) et son noyau
, qui est donc distingué(mais il est distingué de toute manière puisque
est abélien). Ceci, je l'avais déjà fait. Maintenant,
et il y a donc
carrés modulo
. Ok.
Je cherche une formule pour prouver la multiplicativité du symbole, en fait je prouve le critère d'Euler. Donc je vais prouver que
est un carré et
sinon.
Je prends l'équation d'inconnue dans
privé des éléments divisibles par
(je me suis aperçu de cette condition pour m'éviter un problème avec petit Fermat plus loin):
.
est premier donc on travaille dans un corps fini, il est alors algébriquement clos. L'équation admet donc
solutions. Mais si on prend un carré disons
on voit qu'il est solution de l'équation par petit Fermat (
non divisible par
implique que ses facteurs ne le sont pas non plus).
Alors, les carrés sont parmi les solutions, qui sont au nombre de . Les solutions sont donc exactement les carrés modulo
. Je fais la même chose avec l'équation
, qui possède aussi
solutions, qui est un ensemble qui ne contient aucun carré. C'est donc les non carrés, puisqu'il y en a autant.
J'ai l'impression d'avoir fait super compliqué...
Merci GBZM! Mais nos messages semblent être arrivés quasiment en même temps donc je ne sais pas si tu as vu ma preuve?
Je pense aussi que tu as fait compliqué !
Les carrés forment un sous groupe d'indice 2 dans le groupe multiplicatif . Soit
un non carré ; les non-carrés sont donc exactement les
.
À partir de là, tu démontres sans souci que le symbole de Legendre est bien un homomorphisme dans
Alors ça me semble tellement plus simple que je me suis senti obligé de traduire :
Donc comme contient deux classes, ces classes s'écrivent
et
de sorte qu'elles soient bien distinctes. C'est le cas si et seulement si
est un non carré, clair. Donc pour avoir l'homomorphisme, on le construit à la main du coup? C'est à dire qu'on va faire correspondre la table de multiplication de
avec la table de multiplication du "caractère carré" d'un élément de
? (je ne sais pas trop comment mieux le dire en fait?)