Tu commences par éliminer le x dans les équations 2 et 3
Soit
L1
L2
L3
Ton système

Il est équivalent à

L1
L2-2L1
L3-L1

Les 2 dernières équations forment alors un système de 2 équations à 2 inconnues que tu sais résoudre.

oui mais je ne comprends pas comment faire pour le résoudre, je ne sais pas comment faire.

parce que en fait dans L3 il n'y a pas de y

Sache que je ne te le ferais pas.
Tu essayes d'éliminer les x dans les 2 dernières équations
En faisant les opérations que je t'ai expliqué précédemment
Tu obtiens
x + y + z = 0
0 + y - 5z = -3
0 - y + 5z = 3

je ne veux pas que tu me le fasse mais je voudrai juste savoir coment faire avec la L3.

je ne comprends pas trés bien ce que tu as dit :
Tu obtiens
x + y + z = 0
0 + y - 5z = -3
0 - y + 5z = 3

Bien fait le calcul et tu verras que tu obtiens effectivement ça.

pour la ligne trois ça donne :
y - 5z = -3  ?

parce que en fait il faut faire :

2L1 - L2
L1 - L3

Tu peux aussi bien faire L2-2L1 ou 2L1-L2 ça ne change rien.
Dans ce cas on trouve
L2 -y + 5z = 3
L3 y - 5z = -3

je trouve à la fin x = -3/5   y = 0      z = 3/5

Alors il n'y a pas une unique solution vu qu'après les opérations tu trouves que la ligne 2 et 3 sont les mêmes.
On a z=(3+y)/5
Puis en remplaçant dans l'équation 1
x + y + (3+y)/5 = 0
x=-(8+y)/5
Les solutions sont donc
(-(3+6a)/5 , a , (3+a)/5) avec a€R
Sauf erreur.

Substitutions.
x=3-6z
...
y=5z-3
...
x=3
y=-3
z=0

De rien.