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Niveau Licence Maths 1e ann
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Système d'équations linéaire à résoudre dans Z

Posté par
Laouen
03-02-24 à 16:48

Bonjour à tous,

Je travaille sur la résolution de systèmes d'équations à inconnues de valeurs dans \mathbb{Z} et pas \mathbb{R}
et j'ai du mal à comprendre la technique. Voyez-vous des erreurs dans le raisonnement ? Je vous remercie.

Résoudre le système de 2 équations à trois inconnues dans \mathbb{Z}:
18x+20y+z=5
 \\ 10x+10y+2z=6


J'ai utilisé la méthode du pivot de Gauss et trouvé le système équivalent :
18x+20y+z=5
 \\ -26x-30y=-4

Une solution particulière de -26x-30y=-4 est x=-1 et y=1.
(à partir d'ici je ne suis plus sûr de prendre en compte toutes les possibilités)
Puisque ppcm(26,30)=390, avec 26*15=30*12=390
la solution générale de -26x-30y=-4  est x=-1-15k  et y=1+12k avec  k \in \mathbb{Z}

En remplaçant dans la première équation du système on obtient :
18*(-1-15k)+20(1+12k)+z=5
équivaut à z=3-30k

La solution du système est donc S : {(x,y,z)=(-1-15k, 1+12k, 3-30k) avec k \in \mathbb{Z}}


La solution de prendre le ppcm me semble bizarre, et ne fonctionne pas dans les autres exercices que j'ai pu faire.
Je vous remercie pour votre lecture, je prends tous les conseils avec enthousiasme. Bonne journée à vous

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations linéaire à résoudre dans Z 03-02-24 à 16:55

Bonjour,
Je n'ai pas regardé en détail ce que tu as fait car quand je vois la seconde équation, je saute dessus pour la simplifier.
Puis j'élimine z facilement.
Je tombe sur 13x + 15y = 2 qui aune solution évidente.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations linéaire à résoudre dans Z 03-02-24 à 17:04

Par ailleurs, ton triplet solution ne vérifie pas la seconde équation.
Je vais chercher où est ton erreur.

Posté par
Laouen
re : Système d'équations linéaire à résoudre dans Z 03-02-24 à 17:05

Merci !
Tu parles de simplifier l'équation en passant de 26x+30y=4 à 13x+15y=2, mais a-t-on le droit puisqu'on travaille dans \mathbb{Z} et pas sur \mathbb{R} ? Est-ce que ça ne va pas fausser les résultats ?
(le prof nous a montré un exemple où ça ne fonctionnait pas, mais je ne sais pas si le contexte est le même ici)
Ensuite ça donne effectivement une solution particulière, mais comment trouver ensuite la solution générale ? Passer par le ppcm comme j'ai fait ?
Merci pour l'aide

Posté par
Laouen
re : Système d'équations linéaire à résoudre dans Z 03-02-24 à 17:08

Sylvieg @ 03-02-2024 à 17:04

Par ailleurs, ton triplet solution ne vérifie pas la seconde équation.
Je vais chercher où est ton erreur.

En vérifiant mes calculs j'ai fait une erreur de signe, c'est z=3+30k ! Merci de me l'avoir signalé ! Après c'est peut-être toujours faux

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations linéaire à résoudre dans Z 03-02-24 à 17:20

Je n'ai pas fait cette simplification, mais elle est valable.

J'ai d'abord simplifié 10x + 10y + 2z = 6 par 2.
Détails :
10x + 10y + 2z - 6 = 0 2(5x+5y-3) = 0
Et dans la règle du produit nul reste valable.

Pourquoi cherches-tu à utiliser un ppcm ?

Posté par
Laouen
re : Système d'équations linéaire à résoudre dans Z 03-02-24 à 17:33

Merci pour la précision !
Le ppcm ce serait pour trouver une solution générale à 13x+15y=2.

On a ppcm(13,15)=195, avec 13*15=195
donc je trouve la solution générale (x,y)=(-1-15k;1+13k) ; k \in \mathbb{Z} ; est-ce correct ?
C'est une solution différente de ce que j'ai trouvé,  en prenant
S : {(x,y,z)=(-1-15k ; 1+13k ; 3 +10k) ; k \in \mathbb{Z}}
et en remplaçant les inconnues dans les deux équations ça fonctionne chez moi. Merci beaucoup !! Ça m'est précieux

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Système d'équations linéaire à résoudre dans Z 03-02-24 à 17:47

C'est une méthode que je ne connais pas.
Voici ma méthode qui utilise une solution particulière :
13x + 15y = 2 13x + 15 y = 13(-1) + 151
Équivalent à 13(x+1) = 15(1-y).
Puis Gauss.

Posté par
Laouen
re : Système d'équations linéaire à résoudre dans Z 03-02-24 à 17:58

Sylvieg @ 03-02-2024 à 17:47

C'est une méthode que je ne connais pas.
Voici ma méthode qui utilise une solution particulière :
13x + 15y = 2 13x + 15 y = 13(-1) + 151
Équivalent à 13(x+1) = 15(1-y).
Puis Gauss.

Merci beaucoup pour ton aide ! Je vais essayer ça



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