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Système et congruence

Posté par
SamBrt
22-01-17 à 15:28

Bonjour je suis sur un exercice avec des congruences et des systèmes et je suis perdu.
L'énoncé est : résoudre le système  
x = 7[9]
x = 9[11]

J'ai développé en multipliant par 9 et 11 ce qui me donne :

11x = 77 [99]
9x = 63[99]

Soit 2x = 14 [99]

Je bloque à ce moment là je ne sais pas ce qu'il faut faire je ne comprends même pas ce que je cherche le prof n'a pas mis d'explications dans son cours il n'a fait qu'un exemple rapide que je n'arrive pas à comprendre. Pouvez vous m'aider ?

Merci

Posté par
DOMOREA
re : Système et congruence 22-01-17 à 15:41

bonjour,
remarque que -2 est une solution
9 divise x+2 et 11 divise x+2 donc x+2 congru à 0 modulo 99

Posté par
SamBrt
re : Système et congruence 22-01-17 à 15:44

Je ne comprends, comment on peut voir ça a partir de ce que j'ai fait

Posté par
etniopal
re : Système et congruence 22-01-17 à 15:56

Déjà 9x = 63[99]  est faux  

Posté par
SamBrt
re : Système et congruence 22-01-17 à 15:58

Exacte je n'avais pas fait attention !

9x = 81[99]

C'est bien ça ?

Posté par
DOMOREA
re : Système et congruence 22-01-17 à 15:59

re,
je n'ai pas utilisé ton travail cependant  2x=14 +99k implique x=7+99k'  tu peux peut-être continuer

Posté par
DOMOREA
re : Système et congruence 22-01-17 à 16:02

re,
je n'ai pas vérifié tes calculs mais etniopal l'a fait, heureusement !

Posté par
SamBrt
re : Système et congruence 22-01-17 à 16:03

Oui mais du coup le 14 n'est pas bon donc je ne sais pas comment faire.

Car je me retrouve avec 2x= 95[99] ce qui me bloque encore plus

Posté par
SamBrt
re : Système et congruence 22-01-17 à 16:09

J'ai poursuivi avec 2x = 95 [99]

Or 2 * 97 = 194 et 194-99 = 95
Donc x = 97[99]

x = 97[9] = 7[9]
x = 97[11] = 9[11]

Est ce que c'est bon ?

Posté par
ThierryPoma
re : Système et congruence 22-01-17 à 16:24

Bonsoir,

Voici une méthode qui ne fait pas partie de ton programme.

Rappel : En tant qu'anneaux \Z/99\,\Z\simeq\Z/9\,\Z\times\Z/11\,\Z

L'équation x\equiv\overline{7}\quad[9] admet x=7+9\,u pour solution,  avec u\in\Z. Soit \pi:\Z\to\Z/11\,Z l'épimorphisme d'anneaux. Alors, l'on doit avoir également

\pi(x)=\pi(7)+\pi(9)\,\pi(u)=\overline{7}+\overline{9}\,\pi(u)=\overline{9}

soit

\overline{9}\,\pi(u)=\overline{2}

i.e.

\pi(u)=\overline{10}

Ainsi obtient-on que

x=7+9\,u=7+9\,(10+11\,v)=97+99\,v

pour tout v\in\Z.

Trouve-t-on la même chose ?

Posté par
SamBrt
re : Système et congruence 22-01-17 à 16:28

Bonjour je n'ai pas compris toute la formule mais je trouve x=97[99] donc
x=97  + 99 v

Posté par
DOMOREA
re : Système et congruence 22-01-17 à 16:31

re,
donc ThierryPoma on retrouve bien x\equiv -2    [99] ou x+2\equiv 0   [99]

Posté par
SamBrt
re : Système et congruence 22-01-17 à 16:33

Mais x = -2 peut s'écrire x = 97 ?

Posté par
ThierryPoma
re : Système et congruence 22-01-17 à 16:37

@DOMOREA :

Bien entendu, vu que \pi(u)=\overline{10}=\overline{-1}, de sorte que

x=7+9\,(-1+11\,v)=-2+99\,v

pour tout v\in\Z.



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