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[Tale] équations différentielles

Posté par
Nocachi 15-05-21 à 16:05

Bonjour,
je m'entraine sur le sujet de Bac 2010, mais je bloque.

Énoncé :
On considère l'équation différentielle (E) : y'+y= e^{-x}
De plus nous considérons la fonction u définie sur l'ensemble des nombres réels \mathbb{R} par u(x) = xe^{-x} une solution de l'équation différentielle (E).
Pour finir, On considère l'équation différentielle (E') :  y'+y= 0

Voici la question qui me pose problème :
Soit v une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}. Montrer que la fonction  v ` est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v-u est une solution de l'équation différentielle (E').

Ce que je pense de cela :
Premièrement, le but recherché est d'avoir une égalité entre le membre de gauche et celui de droite.
Injectons v(x)-u(x) dans E' :

Donc : [v(x)-u(x)]'=v(x)-u(x)
A partir de là je suis bloqué. On se ne sait pas ce que représente v.
Merci d'avance.

Posté par
malou Webmasterre : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 16:10

Bonjour
regarde ici la rédaction correcte qu'on peut faire de cette question, réécris la sur ton papier pour apprendre à bien la maîtriser
Bac S - Métropole - Juin 2010

Posté par
Nocachire : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 16:30

Merci pour votre réponse.

Mais, il y a des choses que j'ai du mal à saisir :
v'(x)+v(x)=e^{^-x} (L1)
\leftrightarrow
v'(x)+v(x)=u'(x)+u(x) (L2)
\leftrightarrow
v'(x)-u'(x)+v(x)-u(x)=0 (L3)
\leftrightarrow
(v-u)'(x)+(v-u)(x)=0 (L4)

Qu'avons nous fait pour passer de (L1) à (L2). Où est passer le e^{-x} ?

En quoi le fait de montrer (L4) nous permet de répondre à la question ?
En aucun cas nous avons montrer que y' =y

Merci d'avance.

Posté par
malou Webmasterre : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 16:32

ben tu sais aussi que u est solution de (E), c'est grâce à ça que tu peux écrire L2

et L4 : tu écris bien que (v-u) est solution de y'+y=0 qui est E'

Posté par
Nocachire : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 16:51

Merci pour votre réponse,

En effet, je sais que u(x) est  solution de E.
j'avais trouvé que lorsque j'injecte u(x) à E j'avais :
y'=-y+e^{-x}
e^{-x}(1-x) = e^{-x}(1-x)

Mais dans L2, Pourquoi ai-je le droit d'écrire :
v'(x)+v(x)=u'(x)+u(x)
En réalité, rien me le dit, c'est de la spéculation non ? (De plus, l'e^{-x} est manquant)
Car nous avons écrit L1 :
v'(x) + v(x) = e^{-x}
On ne sait pas si c'est une solution.

Merci d'avance.

Posté par
malou Webmasterre : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 16:58

mais dans cette question on ne te dit pas de démontrer que v est solution de quelque chose
on te demande de démontrer une équivalence entre 2 propositions

dit autrement, ils disent qu'il reviendrait au même de démontrer que v est solution de (E) ou de dire que v-u est solution de (E')

comprends tu ?

Posté par
Nocachire : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 17:15

Effectivement je comprends ce que vous me dites, mais pas l'énoncé.
Excusez-moi de vous faire perdre votre temps.

Posté par
malou Webmasterre : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 17:19

tu ne me fais pas perdre mon temps, je suis là parce que je le veux bien

marrant que tu me dises que tu me comprends mais pas l'énoncé
j'ai dit exactement l'énoncé mais avec d'autres mots

ou encore

pour avoir v solution de (E), il faudrait et il suffirait que v-u soit solution de E'

Posté par
Nocachire : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 17:36

Je pense avoir compris un peu n'empêche,
à la question précédente nous avons montrer que u(x) est une solution particulière de E.
Vu la tournure de la question, cela signifie que nous supposons que v(x) est lui aussi une solution particulière de E.
Or nous avons à présent une égalité qui se forme avec :
u'(x) + u(x) = e^{-x} (1)
et
v'(x) + v(x) = e^{-x} (2)
grâce à e^{-x} nous pouvons former une égalité tel que (1) = (2)
Donc v'(x) + v(x) = u'(x) + u(x)
Nous savons que (E') est :
y'+y=0
Rapportons nous à cette expression :
v'(x) + v(x) = u'(x) + u(x)
\leftrightarrow
v'(x) + v(x) - u'(x) - u(x) = 0
Mon raisonnement est-il correct ?
Merci d'avance.

Posté par
malou Webmasterre : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 17:39

oui, et ta dernière ligne tu peux l'écrire

v'(x)-u'(x)+v(x)-u(x)=0
ou encore

(v-u)'(x)+(v-u)(x)=0
ce qui signifie que v-u est solution de l'équation qui s'écrit : "dérivée" + fonction = 0"
càd solution de y'+y=0 qui est bien (E')
oui ?

Posté par
Nocachire : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 17:43

Merci infiniment pour votre aide. Avoir la réponse est une catharsis !

Posté par
malou Webmasterre : [Tale] équations différentielles 15-05-21 à 17:53

Je t'en prie, à une autre fois sur l'


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