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tangentes et équation

Posté par rudy59 (invité) 24-02-08 à 11:25

bonjour! j'ai encore un petit problème pour deux autres petites questions..
Démontrer que la droite d'équation 4x+10y=29 est tangente au cercle d'équation x²+y²=29/4.
quelles sont les coordonnées du point de contact ?

j'avoue que je n'ai aucune idée
merci de votre aide

Posté par
cailloux Correcteurre : tangentes et équation 24-02-08 à 11:30

Bonjour,

Tu peux démontrer que la distance du centre du cercle à la droite donnée est le rayon du cercle...

Posté par rudy59 (invité)re : tangentes et équation 24-02-08 à 11:35

oups, comment je peux faire cela ?
j'avoue que je ne suis pas fort en géométrie..

Posté par
cailloux Correcteurre : tangentes et équation 24-02-08 à 11:44

Eh bien, tu as sûrement une formule dans ton cours qui te donne la distance d' un point A\|x_A\\y_A a une droite d' équation ax+by+c=0:

d=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Ici, le centre du cercle donné est en O\|0\\0 et son rayon est \frac{\sqrt{29}}{2}

et l' équation de la droite: 4x+10y-29=0

d' où d=\frac{|4\times 0+10\times 0-29|}{\sqrt{4^2+10^2}}=\frac{29}{\sqrt{116}}=\frac{29}{2\sqrt{29}}=\frac{\sqrt{29}}{2}

Miracle! on tombre justement sur le rayon du cercle!

La droite donnée est donc tangente au cercle donné...

Posté par rudy59 (invité)re : tangentes et équation 24-02-08 à 13:02

a oui je vois!
Et pour les coordonnées du point de contact il faut que je résoud le systéme donner par l'équation du cercle et de la droite ?
je ne sais pas trop comment faire..

Posté par
cailloux Correcteurre : tangentes et équation 24-02-08 à 13:04

Citation :
il faut que je résoud le systéme donner par l'équation du cercle et de la droite ?


Il faut que tu résolves, oui, c' est une solution.

Posté par rudy59 (invité)re : tangentes et équation 24-02-08 à 14:05

je n'y arrive pas cailloux

Posté par rudy59 (invité)re : tangentes et équation 24-02-08 à 14:16

??

Posté par
cailloux Correcteurre : tangentes et équation 24-02-08 à 14:21

\{4x^2+4y^2=29\\4x+10y=29

Dela 2ème équation on tire y=\frac{-4x+29}{10} que l' on reporte dans la 1ère:

4x^2+4\frac{(-4x+29)^2}{100}=29

4x^2+\frac{16x^2-232x+841}{25}=29

100x^2+16x^2-232x+841=725

116x^2-232x+116=0

116(x^2-2x+1)=0

(x-1)^2=0

d' où x=1 et y=\frac{5}{2}

Posté par rudy59 (invité)re : tangentes et équation 24-02-08 à 14:24

a daccord c'était difficile en plus merci beaucoup cailloux!!!

Posté par
cailloux Correcteurre : tangentes et équation 24-02-08 à 14:29

Il y avait d' autres solutions: par exemple le point cherché est le point d' intersection de la droite donnée et de la droite issue de O perpendiculaire à cette droite.

Les calculs sont plus simples...


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