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[terminale] exercice sur les suites

Posté par
otioo 07-10-12 à 13:09

Bonjour j'ai un exercice a faire et je bloque sur la question 3,4.a et 4.b

Enoncé :
La suite Un est définie par U0 = 1 et pour tout entier naturel n, Un+1 = (Un)/racine(Un²+1).
1.Prouver que  pour tout entier naturel n, Un>0
2.Prouvez que la suite Un est décroissante
3.Justifiez la convergence de la suite (Un)
4.a)Donnez les valeurs exactes des cinq premiers termes de la suite. Que pouvez-vous conjecturer concernant l'expression de Un en fonction de n ?
  b)Démontrez votre conjecture par récurrence
5)Quelle est la limite de la suite Un ?

Merci de bien vouloir m'aider

Posté par
otioore : [terminale] exercice sur les suites 07-10-12 à 13:41

Quelqu'un ?

Posté par
Labore : [terminale] exercice sur les suites 07-10-12 à 20:03

Bonsoir,
3) d'après 1 la suite est minorée par 0
d'après 2 le suite est décroissante
==> elle converge

Citation :
4.a)Donnez les valeurs exactes des cinq premiers termes de la suite.

ce n'est que du calcul ...
j'attends tes valeurs.

Posté par
otioore : [terminale] exercice sur les suites 07-10-12 à 21:06

Merci pour ces premières reponses . U1=racine(2)/2 U2=racine(3)/3 U3=racine(4)/4 U4=racine(5)/5 U5=racine(6)/6

Posté par
Labore : [terminale] exercice sur les suites 07-10-12 à 21:29

U_0=1 \\ U_1=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ U_2=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ U_3=\frac{\sqrt{4}}{4}=\frac{1}{2} \\ U_4=\frac{\sqrt{5}}{5} \\ U_5=\frac{\sqrt{6}}{6}
==> on peut conjecturer
U_n=\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}

par récurrence
initialisation pour n=0
...
hérédité
supposons vraie au rang n la propriété
U_n=\frac{\sqrt{n+1}}{n+1} \\ U_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}

U_n^2=\frac{1}{n+1} \\
U_n^2+1=\frac{n+2}{n+1} \\
\sqrt{U_n^2+1}=\sqrt{\frac{n+2}{n+1}} \\

\frac{1}{\sqrt{U_n^2+1}}=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}
U_n\times \frac{1}{\sqrt{U_n^2+1}}==\frac{1}{\sqrt{n+1}}\times \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}=
\frac{1}{\sqrt{n+2}}=\frac{\sqrt{n+2}}{n+2}
donc vraie au rang n+1

Posté par
otioore : [terminale] exercice sur les suites 07-10-12 à 21:48

Merci beaucoup

Posté par
Labore : [terminale] exercice sur les suites 07-10-12 à 22:04

Posté par
jujuniorre : [terminale] exercice sur les suites 20-09-26 à 13:09

Et pour la limite, c'est une forme indéterminée ...


Donc, tu multiplies par $\sqrt{n+1}$
et tu obtiens :

U_n= \frac{n+1}{(n+1)\sqrt{n+1}}
Donc :


U_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}


Et puisque n+1>n, on a :


\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}\longrightarrow 0


Donc :


\boxed{\lim_{n\to+\infty} U_n=0}

Si tu veux des exos, cours methodes pour la terminale, va faire un tour sur ***publicité**"*

Posté par
Camélia Correcteurre : [terminale] exercice sur les suites 20-09-26 à 14:30

Bonjour jujunior et bienvenue sur l'

Je te signale que tu viens de répondre correctement à un post datant de 2012. J'espère que son auteur a fait du chemin depuis...

Si tu as des questions n'hésite pas à les poser, si tu veux répondre vérifie les dates.

A bientôt.

Posté par
malou Webmasterre : [terminale] exercice sur les suites 21-09-26 à 20:18

Hello Camélia

Je crois que jujunior voulait surtout se faire de la pub 😉....


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