Niveau seconde

Terminer une démonstration...

Posté par Boss_maths 30-05-13 à 07:20

Bonjour,

J'ai du mal à terminer cet exercice...

A tout couple $(x,y)$ de réels appartenant à l'intervalle $I=]-1;+1[$ ,
on associe le réel $z$ défini par : $z=\dfrac{x+y}{1+xy}$
Démontrer que $z$ appartient (aussi) à $I$ .
______________________________________________________

Je traduis ainsi les données de l'énoncé :
$x\in I\Longleftrightarrow -1<x<1\Longleftrightarrow |x|<1\Longleftrightarrow 0<1-|x|$
$y\in I\Longleftrightarrow -1<y<1\Longleftrightarrow |y|<1\Longleftrightarrow 0<1-|y|$
Rappel : $|a|\times|b|=|ab|$ et aussi que $|\dfrac{a}{b}|=\dfrac{|a|}{|b|}$
J'en déduis maintenant que le produit :
$0<(1-|x|)(1-|y|)\Leftrightarrow 0<1-|x|-|y|+|x||y|\Leftrightarrow 0<1+|xy|-(|x|+|y|)\Leftrightarrow |x|+|y|<1+|xy|$
Propriété/inégalité des valeurs absolues sur : $|a+b|\le|a|+|b|$
Nous avons donc : $|x+y|\le|x|+|y|<1+|xy|\Rightarrow |x+y|<1+|xy|\Rightarrow \dfrac{|x+y|}{1+|xy|}<1$
Mais, pour conclure je devrais avoir $|1+xy|$ au dénominateur
Bref, je ne sais pas si l'on peut terminer, ainsi, cette démonstration.

Merci d'avance pour vos réponses,
@+

Posté par re : Terminer une démonstration... 30-05-13 à 07:44

Bonjour,

Je te propose quelque chose de plus simple, qui ne fait pas appel aux valeurs absolues, mais qui demande de savoir manipuler des fractions et de savoir mettre en évidence.

Comme $x,\;y\in I$ ,

$-1<x<1$ et $-1<y<1$ .

Cela étant, d'une part,

$\dfrac{x+y}{1+xy}+1=\dfrac{(1+x)(1+y)}{1+xy}>0$ ;

donc

$\dfrac{x+y}{1+xy}>-1$ .

D'autre part,

$\dfrac{x+y}{1+xy}-1=\dfrac{(x-1)(1-y)}{1+xy}<0$ ;

donc

$\dfrac{x+y}{1+xy}<1$ .

Bien cordialement,

$\pi r^2$

Posté par re : Terminer une démonstration... 30-05-13 à 10:50

Merci pour ta réponse astucieuse.
Mais comment prouves-tu que : $1+xy>0$ ?

@+

Posté par re : Terminer une démonstration... 30-05-13 à 11:07

Rebonjour,

Le produit de deux réels strictement compris entre -1 et 1 est lui-même strictement compris entre -1 et 1.
C'est à peu près évident !
Mais, si tu n'en es pas convaincu, tu peux alors utiliser des valeurs absolues pour le prouver :

de

$-1<x<1$   et   $-1<y<1$

on déduit successivement

$|x|<1$   et   $|y|<1$

$|xy|<1$

$-1<xy<1$

$1+xy>0$   (et   $1-xy>0$ )

Bien cordialement.

$\pi r^2$

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