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tétraèdre et centre de gravité

Posté par
elieval 12-05-05 à 21:55

Bonjour j'ai encore besoin de votre aide.J'essaie de faire des ex avant mon DS mais celui là m'embête beaucoup!
ABCD est un tétraèdre.
G et H sont les centres de gravité des faces ABC et ACD
K est un point quelconque de la face BCD.
Montrer que (GH) est parallèle au plan BCD.

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 12-05-05 à 22:41

Bonsoir elieval!

G centre de gravité de ABC: \vec{OG}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})

H centre de gravité de ACD: \vec{OH}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OC}+\vec{OD})

Il ne reste plus qu'à voir que vaut GH...

\vec{GH}=\vec{OH}-\vec{OG}=\frac{1}{3}(\vec{OD}-\vec{OB})=\frac{1}{3}\vec{BD}

Isis

Posté par
elievalré 12-05-05 à 23:12

merci Isis.
je comprends que tu utilises la def vectorielle du centre de gravité,mais je ne vois pas ce que représente ici le point O
j'imagine que c'est l'origine du repère mais peeux-tu m'expliquer 1 peu?
Je ne m'attendais pas du tout à 1 réponse utilisant les vecteurs!

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 12-05-05 à 23:18

O peut être n'importe quel point du plan! Le plus simple est de se dire qu'il s'agit effectivement de l'origine.

Tu as déjà vu le barycentre?

Isis

Posté par
elievalj ai 1 autre question 12-05-05 à 23:30

Soit ()la parallèle à (BD)passant par K.
Pourquoi peut-on dire que ()et (GH)sont coplanaires?
Ma réponse : on sait que ()et (BD) sont parallèles donc coplanaires
(GH) et (BD)sont également parallèles donc coplanaires
donc ()et (GH) sont coplanaires .C'est ça?

Posté par
elievalré 12-05-05 à 23:32

non je n'ai pas vu le barycentre.
Peux-tu m'expliquer,en rapport avec mon exercice? encore merci de te pencher sur mon pb

Posté par
elievalet enfin la dernière 12-05-05 à 23:34

construire les droites d'intersection du plan GHK avec les faces du tétraèdre ABCD.

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 12-05-05 à 23:36

Quelle est la définition de centre de gravité qu'on t'a appris? Il faudra sûrement l'utiliser...

Isis

Posté par
elievalré 12-05-05 à 23:48

je sais que le ccentre de gravité est le point de concours des 3 médianes et que AG=\frac{2}{3}AA'avec A'milieu de [BC]Je réfléchis encore...

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 12-05-05 à 23:51

Écoute, il est fort tard et je dois me coucher. Pour voir que GH est parallèle à BD tu dois utiliser la définition du centre de gravité. Puis ensuite ton raisonnement me semble bon. Deux droites parallèles sont toujours coplanaires, donc la parallèle à (BD) passant par K et GH sont coplanaires. Tu peux utiliser ceci pour commencer la construction de l'intersection.

Isis

Posté par
elievalest ce que... 12-05-05 à 23:53

ma réponse à la question 2 est correcte?
Pour l'utilisation du centre de gravité d'1 triangle,c'est bien pour la question 3?

Posté par
elievalmerci 12-05-05 à 23:54

ca tombe bien moi aussi.
A demain?

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 13-05-05 à 00:06

Si A' est le milieu de BC, tu es d'accord que \vec{BA'}=\vec{A'C}. Donc

\vec{BO}+\vec{OA'}=\vec{A'O}+\vec{OC}\;\Rightarrow\; \vec{OA'}=\frac{1}{2}(\vec{OC}+\vec{OB})

On passe enfin à G
\vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AA'}\\ \vec{AO}+\vec{OG}=\frac{2}{3}(\vec{AO}+\vec{OA'})\\ \vec{OG}=\frac{2}{3}(\vec{AO}+\frac{1}{2}(\vec{OC}+\vec{OB}))-\vec{AO}\\ \vec{OG}=-\frac{2}{3}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OC}+\frac{1}{3}\vec{OB}+\vec{OA}\\ \vec{OG}=\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OC}+\frac{1}{3}\vec{OB}\\

Et on retombe sur ma belle formule.

Cette fois c'est sûr, je me couche. Bonne nuit!

Isis

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 13-05-05 à 07:25

Bonjour elieval!

Les maths c'est beaucoup trop compliqué la nuit! Ce n'est pas faux ce que j'ai fait mais il y a beaucoup beaucoup plus simple.

J'appelle B' le milieu de AC. Comme B'B est est la médiane de ABC et B'D celle de ACD on a

(I)\;\vec{B'H}=\frac{1}{3}\vec{BD}\qquad \textrm{et}\qquad(II)\;\vec{B'G}=\frac{1}{3}\vec{B'B}

Là je vois deux possibilités. Soit tu fais (II)-(I) et tu vois que GH est parallèle à BD, soit tu regardes les triangles B'GH et B'BD. D'après Thalès BD et GH sont pèarallèles...

Isis

Posté par
elievalré 13-05-05 à 08:26

merci Isis. Je te remercie infiniment
Je vois que tu as meilleure santé que moi!
Je me réveille avec 1 mal de tête pas possible et en j'attaque + tard que toi!
Aie!
Mais je n'ai pas d'idée pour montrer que ()et (GH)sont coplanaires?Dans quelle direction chercher?Tu as 1 idée?

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 13-05-05 à 11:13

() est parallèle à (BD) par définition. Comme BD est parallèle à GH, on a que () est parallèle à GH, donc () et GH coplanaires.

() est bien une partie de l'intersection que tu cherches. Ensuite c'est facile, car lorsque () croise l'arête BC on a un point qui est sur la face ABC et il suffit de le relier à G.

J'avais fait un joli dessin, mais j'ai eu un petit souci d'ordre informatique et là je dois me remettre au travail, alors décolée, la figure restera pour une autre fois.

Isis

Posté par
elievalré 13-05-05 à 13:35

merci Isis
parce que tu n'appelles pas du travail ce que tu viens de faire!
je vais essayer de comprendre sans la figure!
je te pose des questions si je comprends pas tout!
A + sur

Posté par
elievalré 13-05-05 à 22:23

ô secours je vois que Isis n'est pas connecté et j'avais 1 question à lui poser au sujet de son dernier post.
Isis me dit de faire II)-I)
Ca me donne :
\vec{B'G}-\vec{B'H}=\vec{B'G}+\vec{HB'}=1/3\vec{B'B}-1/3\vec{B'D}
...et je n'arrive pas à prouver que \vec{GH}et \vec{BD}sont colinéaires donc (GH)et (BD) sont parallèles
qui peut m'aider SVP
Je voudrais finir ça

Posté par
elievalIsis 13-05-05 à 22:39

as-tu encore 1 peu de temps à me consacrer?
Je ne comprends pas ton équation II)-I)
Et pour l'intersection de (GHK)avec les faces du tétraèdre?
J'ai tracé ().Elle coupe (BC) et donc le (ABC) en N par exemple.
Mais comment être sûr que ()coupe la face ABC sur l'arête exactement?

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 13-05-05 à 22:42

Bonsoir elieval!

\array{(II)&\vec{B'G}&=&\frac{1}{3}\vec{B'B}\\ (I)&\vec{B'H}&=&\frac{1}{3}\vec{B'D}\\ \hline(II)-(I)&\vec{B'G}-\vec{B'H}&=&\frac{1}{3}(\vec{B'B}-\vec{B'D})}\\ \Rightarrow \vec{HG}=\frac{1}{3}\vec{DB}

Mais c'est plus simple avec Thalès à mon avis.

Isis

Posté par
elievalré 13-05-05 à 22:47

Bonsoir Isis
Désolée mais je ne vois pas comment tu passes de la 3ème à la 4ème ligne

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 13-05-05 à 22:48

(I) et (II) sortent de la définition de la médiane que tu m'as donné.

G centre de gravité de ABC, donc si B' est le milieu de AC on a
\vec{BG}=\frac{2}{3}\vec{BB'}

Comme G est entre B et B' et que BG vaut 2/3 de BB', alors GB' vaut 1/3 de BB'.

Isis

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 13-05-05 à 22:49

Est-ce que tu sais que \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}?

Isis

Posté par
elievalré 13-05-05 à 22:52

mais je viens de compendre avec Thalès.C'est bon.Merci
As-tu vu ma derniere question sur l'intersection de (GHK)avec le tétraèdre?

Posté par
elievalré 13-05-05 à 22:55

AB=OB-OA
non je ne crois pas avoir déjà vu ça!

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 13-05-05 à 23:14

Voici un dessin pour expliquer un peu. () est la parallèle à BD passant par K. Cette droite intersecteBC en X et CD en Y. Tu traces la droite passant par X et G qui donne l'intersection du plan GHK avec la face ABC. De même avec Y et H.

Isis

tétraèdre et centre de gravité

Posté par
isisstruissre : tétraèdre et centre de gravité 13-05-05 à 23:19

Un autre cas possible:

tétraèdre et centre de gravité

Posté par
elievalré 14-05-05 à 07:38

merci bcp Isis


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