Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Tétraèdre (seconde)
Rebonjour
Je vous repose un exercice pour aider ma fille qui panique à la vue de son DS lundi.
On considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ABD et ACD sont rectangles en A ; on donne les mesures en cm :
AB = 3 cm ; AC = 4 cm et AD = 6 cm
I est le mileu de [AB] ; J et K sont définis par vect DJ = 1/3 vect DB et vect DK = 1/3 vectDC.
1) Calculer le volume du tétraèdre ABCD ; on admettra que la droite (AD) étant perpendiculaire aux droites (AB) et (AC) est aussi perpendiculaire au plan (ABC)
2) Démontrer que les droites (IJ) et (AD) sont sécantes et que leur point d'intersection S appartient aux plans (IJK) et (ACD). En déduire une construction du point L intersection du plan (IJK) et de la droite (AC). Reproduire la figure et construire ce point L.
3) En utilisant le repère (A, AB, AD) du plan (ABD), démontrer que D est le milieu de [AS]. Que représente K pour le triangle ACS ? En déduire que L est le milieu de [AC].
4) Démontrer que IJKL est un trapèze. En faire une représentation en vraie grandeur.
1) V = 1/3 B x H
Aire (ABC) = (L x l) /2 = (4 x 3)/2 = 6cm^2
V = 1/3 (Aire (ABC) x AD
V = 1/3 (6 x 6)
V = 1/3 (36) = 36/3 = 12 cm^3
2) Les plans (IJK) et (ACD) ayant un point commun (S), s'ils sont parallèles ils sont nécessairement confondus, or le point I n'appartient pas au plan (ACD)
Donc ces deux plans ne sont pas confondus, non parallèles, ils sont donc sécants selon une droite.
3) et 4) Je n'arrive pas à démontrer
J'ai besoin de vos explications pour aider ma fille, SVP merci
Stella
PS : Je ne peux pas mettre l'exercice dans la rubrique correspondante (bug)
1)
Volume(ABCD) = (1/3)*Aire de la base * hauteur.
Volume(ABCD) = (1/3)*aire(ABC) * AD
Volume(ABCD) = (1/3)*(1/2)*3*4*6 = 12 cm³
---
2)
Les points I, J, A et D sont dans le plan ABD.
Dans le plan ABD, la // à AD passant par I passe par le milieu de [BD] (théorème des milieux dans le triangle ABD).
Comme J n'est pas au milieu de [BD], la droite (IJ) n'est pas // à la droite (AD).
Deux droites coplanaires non // sont sécantes et donc les droites (IJ) et (AD) sont sécante. Soit S leur point commun.
S est sur la droite (IJ) et donc dans le plan (IJK)
S est sur la droite (AD) et donc dans le plan (ACD)
--> S appartient aux plans (IJK) et (ACD).
S et K sont dans le plan IJK -> la droite(SK) est dans le plan IJK.
S et K sont dans le plan ACD -> la droite(SK) est dans le plan ACD.
Le point de rencontre des droites (SK) et (AC) est le point L cherché.
-----
3)
Dans le repère choisi, on a:
A(0 ; 0)
I(1,5 ; 0)
D(0 ; 6)
B(3 ; 0)
J(1 ; 4)
Equation de la droite (IJ): y = -8x + 12
Equation de la droite AD: x = 0
Les coordonnées de S se trouvent en résolvant le système:
y = -8x + 12
x = 0
--> S(0 ; 12)
et donc AS = 12
et comme AD = 6 et les points A, D et S alignés, D est le milieu de [AS]
---
CD est médiane de AS et K est au 2/3 de [CD] mesuré à partir de C (par hypothèse puisque vect DK = 1/3 vectDC)
-> K est situé sur une médiane du triangle ACS au 2/3 de sa longueur mesuré à partir du sommet C du triangle.
Et donc K est le centre de gravité du triangle ACS (aujourd'hui, on dit barycentre ou je ne sais quoi).
La droite SL passant par K est donc médiane du triangle ACS et L est par conséquent le milieu de [AC]
-----
4)
Par Thales avec les droites concourantes (BD) et (CD) et comme BD/JD = CD/KD = 3, on conclut que BC est // à JK
--> le quadrilatère IJKL est un trapèze.
IL passe par les milieux de 2 cotés(AB et AC) du triangle ABC, on a donc IL // au 3ème coté du triangle et en valant la moitié.
-> IL = BC/2
Pythagore dans le triangle(ABC) --> BC² = AB²+AC²
BC² = 4² + 3² = 25
BC = 5
IL = 5/2 = 2,5 cm.
Par Thales ou par les triangles de même forme: JK = (1/3).BC = 5/3
La hauteur du trapèze IJKL = (1/3).AS = 12/3 = 4 cm
Aire(IJKL) = (1/2).(IL + JK).hauteur du trapèze
Aire(IJKL) = (1/2).(2,5 + (5/3))*4 = 5 + (10/3) = (25/3) cm²
-----
Attention, fait en vitesse et des erreurs ne sont pas exclues. 
Encore merci J-P pour ton aide. Je vais refaire l'exercice.
Bonjour Davidk, il faudrait que tu lises mes réponses. J'ai déjà expliqué pour la centième fois que je ne peux pas, et j'en ai marre de le réexpliquer !!!
hey
ca va bien
kel et le prénom de ta fille stella?
car je semble etre ds sa classe
Annuler
connectez vous