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Tétraèdre trirectangle

Posté par Falke (invité) 15-04-06 à 12:21

Bonjour à tous! J'ai un petit exercice pour le début de la semaine, et je n'arrive pas à trouver la solution, voilà l'énoncé!

L'espace est muni d'un repère orthonormal (O, ,,) Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives (a;0;0), (0;b;0), (0;0;c) avec a0, b0, c0. Démontrer que la distance d, de l'origine O au plan (ABC) est telle que 1/(d²) = 1/(a²) + 1/(b²) +1/(c²).

J'ai tenté de calculer les distances AD BD CD (avec D le point de coordonnées (x;y;z), qui serait le point du plan ABC, avec la distance OD qui serait la plus courte entre l'origine du repère et le plan ABC) mais je n'ai trouvé que des équations que je ne sais résoudre.
Pouvez-vous m'aider, ou juste m'aiguiller s'il vous plait?
Merci d'avance!
Falke

Posté par
disdrometrere : Tétraèdre trirectangle 15-04-06 à 12:40

tu trouves quoi comme équation du plan ABC ou P.

j'ai trouvé bcx +acy + abz -abc =0 (P)

la distance d'un point M à P  d(M,P)=\frac{|bcx +acy + abz -abc|}{\sqrt{(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2}}

donc d=d(O,P)=\frac{|abc|}{\sqrt{(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2}}

en élévant au carré  d^2=\frac{(abc)^2)}{(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2}

en inversant on déduit 1/(d²) = 1/(a²) + 1/(b²) +1/(c²).

Posté par Falke (invité)re : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 12:11

Bonjour et merci beaucoup pour ton aide! Le seul hic c'est que je ne trouve plus comment déterminer une équation du plan à partir de ces trois points, est-ce que tu peux m'aider s'il te plait?
merci d'avance!

Posté par
stokastikre : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 12:19


Tu sais déterminer une équation d'un plan à partir de quoi ?

Posté par Falke (invité)re : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 12:22

je sais déterminer l'équation d'un plan à partir d'un point qui doit lui appartenir et d'un vecteur qui doit être normal au futur plan.
voilà

Posté par
stokastikre : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 12:26


As-tu vu le produit vectoriel ?

Posté par
disdrometrere : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 12:27

M(x,y,z) appartient à ABC ssi
ils existent 2 rééls p,q tq
AM = pAB + qAC ( ce sont des vecteurs) et avec A(a,0,0) B(0,b,0) C(0,0,c)

ce qui donne le système d'équations :

x-a = -pa -qa (1)
y= pb
z= qc

donc q=z/c  et p=y/b

(1) devient x-a = -a(y/b + z/c)

en multipliant par bc

bcx -abc = -acy -abz =>   bc x + ac y + ba z -abc =0

Posté par Falke (invité)re : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 12:34

Merci à didro tu peux juste me dire quelle est la propriété qui te permet d'avoir ta premièr relation? AM = pAB + qAC ?

Pour Stoka, le produit vectoriel n'est plus au programme de la terminale S actuelle, on est censé se débrouiller autrement..

Posté par
disdrometrere : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 12:37

M est dans le Plan ABC, et (A,AB,AC) est un repère de ce plan  car AB n'est pas colinéaire à AC.

donc tous les points du plan de ABC en prenant A comme origine de mon repère.
peuvent s'écrire  AM = pAB + qAC

Posté par Falke (invité)re : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 12:40

Merci beaucoup ! J'ai enfin compris mon exercice! Bonne journée!

Posté par
disdrometrere : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 12:42

je t'en prie..

Posté par Falke (invité)re : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 14:04

en fait m'reste un petit problème lol, je n'arrive pas à passer de l'expression de d² (donnée et retrouvée sur papier) à votre expression de 1/(d²)...
Pourriez vous m'expliquer plus en détail? merci

Posté par
disdrometrere : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 14:46

donc tu as retrouvé

d^2=\frac{|abc|^2}{(ab)^2 +(bc)^2+(ac)^2}

en inversant : \frac{1}{d^2}=\frac{(ab)^2 +(bc)^2+(ac)^2}{|abc|^2}

soit en simplifiant  \frac{1}{d^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}



Posté par Falke (invité)re : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 15:02

N'y a-t-il pas un problème pour developper puis simplifier?
j'ai donc bien
\frac{1}{(d^2)}=\frac{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}{|abc|^2}
mais ensuite on obtient
\frac{1}{(d^2)}=\frac{a^2\times b^2+b^2\times c^2+a^2\times c^2}{a^2\times b^2\times c^2}
ce qui empêche toute résolution correcte non?

Posté par
disdrometrere : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 15:10

je comprends c'est la fraction qui pose pb:

\frac{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}{|abc|^2}=\frac{(ab)^2}{|abc|^2}+\frac{(bc)^2}{|abc|^2}+\frac{(ac)^2}{|abc|^2}


puis après on trouve l'espression demandée..

Posté par Falke (invité)re : Tétraèdre trirectangle 17-04-06 à 15:12

Fiouu! j'aurais eu du mal sur celui là! Il était temps j'avoue Je vous remercie vraiment! Bonne journée! (et pour de bon cette fois)


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