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Théorème d'Al-Kashi

Posté par
Devoirs33
27-05-22 à 10:47

Bonjour à tous,

J'aimerai de l'aide concernant le théorème d'Al-Kashi. Je n'arrive pas à trouver les longueurs/ angles qui ne nécessite pas de trouver BC.

1)Soit un triangle ABC tel que AB=7, BC=9 ,  AC=8
Grâce au théorème d'Al-Kashi, déterminer ABC en radians à 10^-2 près

CB² = AC² + AB² - 2 * AC * AB * cos A
AC² = CB² + AB² - 2 * CB * AB * cos ABC
8² = 9² + 7² - 2 * 9 * 7 cos ABC
64 = 81 + 49 - 126 * cos ABC
Je suis bloquée à partir de là.

b) Soit un triangle ABC tel que BC=7,  CA=8, BCA=1,14 radians
Grâce au théorème d'Al-Kashi, déterminer BA à 10^-2 près

CB² = AC² + AB² - 2 * AC * AB * cos A
7² = 8² + AB² - 2 * 8 * AB cos A
AB² = 8² + 7² - 2 * 8 * 7 cos 1,14rad
AB² = 64 + 49 - 112* cos 1,14 rad = 66,23

Je suis bloquée à partir de là

Merci pour votre aide.

Posté par
carpediem
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 10:57

salut

ben peut-être faire les calculs intermédiaires pour arriver à : cos ABC = ...

ensuite soit c'est une valeur particulière que tu dois connaitre soit tu prends la calculatrice ...

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 11:00

Pour la 1)

CB² = AC² + AB² - 2 * AC * AB * cos A
AC² = CB² + AB² - 2 * CB * AB * cos ABC
8² = 9² + 7² - 2 * 9 * 7 cos ABC
64 = 81 + 49 - 126 * cos ABC
cos ABC = 64 + 81 + 49 - 126 = 68°
arccos(68) = 0,37 ?

Posté par
carpediem
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 11:36

Devoirs33 @ 27-05-2022 à 11:00

CB² = AC² + AB² - 2 * AC * AB * cos A
AC² = CB² + AB² - 2 * CB * AB * cos ABC
8² = 9² + 7² - 2 * 9 * 7 cos ABC
64 = 81 + 49 - 126 * cos ABC mais quelles opérations mathématiques fais-tu pour passer à la ligne suivante ??
cos ABC = 64 + 81 + 49 - 126 = 68° un cosinus peut-il être supérieur strictement à 1 ??
arccos(68) = 0,37 ? certainement pas un égal ... mais de toute façon la ligne précédente est fausse ...

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 11:42

CB² = AC² + AB² - 2 * AC * AB * cos A
AC² = CB² + AB² - 2 * CB * AB * cos ABC
8² = 9² + 7² - 2 * 9 * 7 cos ABC
64 = 81 + 49 - 126 * cos ABC si cette ligne pose problème, la ligne précédente également donc je change à partir de la 3ème ligne ?

cos ABC = 8² = 9² - 7² - 2 * 9 * 7 ? Je change le signe car les chiffres changent de sens dans cette égalité

Posté par
malou Webmaster
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 11:58

Bonjour

carpediem reprend la main dès qu'il revient

Devoirs33 @ 27-05-2022 à 11:42

CB² = AC² + AB² - 2 * AC * AB * cos A
AC² = CB² + AB² - 2 * CB * AB * cos ABC

déjà ces deux premières lignes me choquent car tu rappelles une formule du cours qui utilise les lettres A, B et C et à la ligne suivante, ces lettres n'ont pas la même signification, donc cette première ligne ne doit pas exister
8² = 9² + 7² - 2 * 9 * 7 cos ABC
64 = 81 + 49 - 126 * cos ABC si cette ligne pose problème, la ligne précédente également donc je change à partir de la 3ème ligne ? je ne comprends pas ce que tu racontes là...les maths c'est pas du petit bonheur la chance

cos ABC = 8² = 9² - 7² - 2 * 9 * 7 ? Je change le signe car les chiffres changent de sens dans cette égalité cette phrase ne veut rien dire, et là cette égalité est fausse, tu devrais revoir le cours de collège...je vais te mettre un lien


Nombres et calculs : Equations

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 12:05

je recommence
AC² = CB² + AB² - 2 * CB * AB * cos ABC ça c'est ce que j'obtiens pour trouver ABC. Je fais donc intervenir AC.
Mais je ne sais pas si c'est correct pour pouvoir continuer

Posté par
carpediem
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 12:55

comment ça ? tu ne sais pas si c'est correct : ton cours te donne une formule générique pour un angle donné (ou peut-être les trois mais une seule suffit)

maintenant tu "appliques" cette formule à ta situation ou question posée ... ensuite tu remplaces les objets (ici des distances) par leur valeur numérique et tu effectues proprement les calculs en t'aidant du lien que malou (merci ) t'a donné ...

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 14:15

AC² = CB² + AB² - 2 * CB * AB * cos ABC
8² = 9² + 7² - 2 * 9 * 7 * cos ABC
64 = 81 + 49 - 126 * cos ABC
Est-ce correct pour l'instant ?

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 16:31

c'est le fait d'isoler cos ABC qui me pose problème

Posté par
malou Webmaster
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 16:37

relis la fiche...
assimile cette partie là, et justifie chaque nouvelle égalité comme dans la fiche

Théorème d\'Al-Kashi

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 16:44

On veut résoudre : 64 = 81 + 49 - 126 * cos ABC
on retire cos ABC aux deux membres de l'équation
64 - cos ABC= 81 + 49 - 126 * cos ABC - cos ABC
On réduit les deux membres et on obtient :

64 - cos ABC= 81 + 49 - 126
64 - cos ABC= 81 + 49 - 126
64 - cos ABC = 4
64 - 4 = cos ABC
60 = cos ABC

Je retrouve l'erreur que j'ai commise auparavant

Posté par
malou Webmaster
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 17:12

faudrait peut-être que quand on t'indique une fiche, tu la travailles vraiment

Théorème d\'Al-Kashi

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 17:34

64 = 81 + 49 - 126 * cos ABC
64 - cos ABC = 81 + 49 - 126 * cos ABC - cos ABC
64 - 64 cos ABC  = 4 - 64 cos ABC
cos ABC / 60 = -60 ABC / 60
cos ABC = -1
?

Posté par
carpediem
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 17:40

mais pendant combien de temps vas-tu te trainer ce 81 + 49 ?

peux-tu résoudre les équations :

x + 3 = -2
3x = 5

en précisant les opérations mathématiques effectuées ....

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 17:43

x + 3 = - 2
j'isole x donc je déplace 3 à droite de l'égalité et je change son signe

x = - 2 - 3
x = -5

3x = 5
je divise par 3

x = 5/3

Posté par
carpediem
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 17:56

Devoirs33 @ 27-05-2022 à 17:43

x + 3 = - 2
je déplace 3 à droite de l'égalité et je change son signe ceci n'est pas une opération mathématique

x = - 2 - 3
x = -5

3x = 5
je divise par 3 les deux membres : ok ceci est une opération mathématique

x = 5/3

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 17:57

x + 3 = - 2
je soustrais les deux membres par 3
x + 3 - 3 = - 2 - 3
x = -5

Posté par
carpediem
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 18:22

ok ! tu as donc les deux règles fondamentales :
- ajouter un même nombre aux deux membres
- multiplier par un même nombre les deux membres

ces deux règles te suffisent pour isoler cos ABC ...

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 18:29

64 = 81 + 49 - 126 cos ABC
64 = 4 cos ABC
64/4 = 4 cos ABC / 4

Non je n'arrive pas avec les cosinus  

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 18:32

Je me suis trompée, j'ai soustrait 126

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 18:37

64 = 130 - 126 cos ABC
64 - 64 = 130 - 64 - 126 cos ABC
0 = 66 - 126cos ABC
On divise par -66
-126/-66 = 1,90

Je me suis encore trompée puisque 1,90>1

Posté par
carpediem
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 19:29

ton inconnue est cos ABC que tu n'as qu'à remplacer par x ...

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 19:35

oui merci pour l'idée

64 = 130 - 126 cos ABC


64 = 130 - 126x
64 - 130 = - 126x
-66 = -126x
x = -66 / - 126 = 0,52
cos ABC = 0,52°
arccos(0,52) = 58,67 en arrondissant à 10^-2 ?

Posté par
carpediem
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 19:39

ok c'est mieux ... mais ne sais-tu pas simplifier la fraction -66/-126 ?

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 19:40

Oui c'est -66/ - 126 = 11/21

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 19:42

Pour la (2), l'expression AB² = 8² + 7² - 2 * 8 * 7 cos 1,14rad  est correcte ?

Posté par
carpediem
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 19:44

ben voila !! et là tu peux donc mettre et utiliser le symbole = ...

ensuite pour la valeur décimale ce n'est qu'une histoire d'utilisation de la calculatrice ... à utiliser en radian d'après l'énoncé ...

même s'il est bon d'avoir une idée en degré car :

11/21 1/2 et on sait que ...

Posté par
Bcarre
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 19:44

Ok dans un premier temps isole non pas cos tout de suite mais plutôt -126cosABC tu auras une valeur négative dans l'autre membre comme ça tu pourras diviser les deux membres par -126 afin de trouver cosABC.
Et là il faut dans un premier temps programmer ta calculatrice scientifique avec les radians vu que les calculatrices à défaut affichent degré.
Dans un second temps une fois que cosABC est trouvé appuyer deuxième fonction puis cos, et là tu trouveras ABC en radian.

Bon si tu n'arrives pas à le faire il faut carrément consulter un collègue brillant ou demander au prof comment manier degré,radian et grade puis comment manier arcsin, arccos,arctan d'un angle sur une calculatrice scientifique

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 20:20

Pour la (1) :
cos ABC = 0,52°
en radians :
arccos(0,52) = 1,02 en arrondissant à 10^-2
Est-ce bien cela ?

Posté par
Bcarre
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 20:47

Oui c'est bien cela

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 21:13

Bonjour;
non ce n'est pas cela

cos ABC = 0,52 tout court. le cosinus n'est pas un angle, ce n'est pas des degrés !
le cosinus est un rapport de longueurs dans un triangle rectangle (cours de 4ème)
il n'y a pas d'unités à un rapport de longueurs, à un cosinus.

en radians :
arccos(0,52) 1,02 radians
(c'est ici l'unité d'angle utilisée, ce qu'on obtient c'est un angle)

ou en degrés ça donnerait
arccos(0,52) 58.67 degrés
(idem)

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 21:43

D'accord merci beaucoup,

Pour (b), je trouve l'expression AB² = 8² + 7² - 2 * 8 * 7 cos 1,14rad

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 22:38

oui.
il n'y a plus qu'à en calculer la valeur numérique ...
tu as déja calculé (1er message) AB² = 66.23 !!
c'est bon
et donc AB lui même = ?

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 22:45

AB² = 66,23
AB = 8,14 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 22:49

oui.
tu en doutes ? la calculette donne 8.138 arrondi à 8.14 à 10-2 près

Posté par
Devoirs33
re : Théorème d'Al-Kashi 27-05-22 à 22:51

oui tout à fait.
Non je n'en doutes pas, c'était pour avoir votre confirmation
Merci beaucoup.

Posté par
Bcarre
re : Théorème d'Al-Kashi 28-05-22 à 00:19

Ouf! mathafou, je n'avais même pas fait attention qu'il avait mis le symbole du degré à côté de 0,52



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