Bonsoir cunctator,

j'ai survolé cette démonstration qui ne me semble en effet pas très rigoureuse.
Je manque malheureusement de temps ce soir pour approfondir la question, peux-tu attendre jusqu'à demain soir?
Je mets le sujet dans mes favoris et j'y réponds dès que je rentre, promis!

Bonne soirée!

Tigweg

Me revoici!

En fait cette démo manque un peu de rigueur par endroits.
Voici comment je propose de l'adapter (j'ai mis en gras les choses qui me semblent importantes).
Je ne vais pas être un modèle de rigueur moi non plus (pour éviter qu'on n'y comprenne plus rien) aux yeux d'un puriste, mais je vais essayer de clarifier certains passages.




On part de I=[a;b] et d'un recouvrement ouvert O de I.
Il existe un ouvert O₁, élément de O contenant a.




Par définition d'un ouvert, il existe un intervalle ouvert A₁ = ]a';a₁[ inclus dans O₁ et contenant a.Si A₁ contient b, alors a fortiori O₁ contient b et c'est terminé puisque O₁ recouvre alors [a;b].




Sinon, a₁2 de O contenant a₁, et donc un intervalle A₂=]a";a₂[ inclus dans O₂ et contenant a₁.




On forme ainsi une suite strictement croissante (a_n).

Notons (H) l'hypothèse suivante: "Pour un certain n, il existe un élément O_n+1 de O contenant c_n et b".




Si (H) est vérifiée alors c'est réglé, puisqu'alors le sous-recouvrement fini (O₁,O₂,...,O_n+1) de O recouvre déjà I dans la mesure où la réunion des ouverts qui le composent contient la réunion de O_n+1 et des intervalles A₁,A₂,...A_n, or celle-ci recouvre I d'après la supposition faite.



Sinon, la suite a_n, strictement croissante et majorée par b, converge vers un élément c inférieur ou égal à b (et non pas directement < b comme l'affirme la démo initiale!).
Prouvons qu'on a nécessairement c



(*) Soit U' un élément de O contenant b, et soit V' = ]b-r';b+r'[ un intervalle ouvert inclus dans U et contenant b.Si c_n convergeait vers b, il existerait un entier m à partir duquel c_nV'.
Mais alors U' est un élément de O contenant à la fois c_m et b, ce qui contredit l'hypothèse que (H) est fausse.
Ainsi c



Soit U un élément de O contenant c, et V =]c-r;c+r [un intervalle ouvert inclus dans U et contenant c.
V contient un élément a_p1 de la suite, ce qui autorise à remplacer a_p1+1 (qui était inférieur à c) par c+r (qui dépasse c).
On modifie ainsi la suite initiale à partir du rang p1+1, puis on continue le même procédé à partir du nouveau a_p1+1=c+r.




Si la nouvelle suite obtenue est telle qu'aucun a_n ne soit dans un élément de O contenant b, elle convergera (même démo qu'avant) vers un réel c' strictement compris entre c et b.
Il existe un rang p2 tel que a_p2 soit dans un intervalle ouvert contenant c et inclus dans un ouvert de O contenant c', et on fait comme avant en remplaçant le terme a_p2+1 par l'extrémité droite de l'intervalle ouvert en question.On continue ainsi.





Si la suite strictement croissante ainsi obtenue converge vers b, on raisonne comme au paragraphe (*) ce qui contredit l' hypothèse que (H) est fausse.
Sinon, elle est nécessairement majorée par un élément kk représente donc un élément que la suite a_n, même modifiée autant de fois qu'on veut, ne pourra jamais dépasser.



Mais alors k est dans un intervalle ouvert inclus dans un élément de O.




Soit x l'extrémité droite de cet intervalle ouvert.En modifiant comme toujours la suite à partir du rang adéquat, on trouve un rang p tel qu'on puisse poser a_p=x, ce qui contredit le fait que (a_n) est majorée par k.

Dans tous les cas, on obtient une contradiction, donc (H) est vraie, ce qui achève la "démonstration".
Si tu veux, je peux essayer de rendre le tout vraiment rigoureux.



Tigweg