Niveau Reprise d'études

Théorème de convergence dominée

Posté par
Thomasdxb 19-11-22 à 06:13

Bonjour,

J'essaye d'appliquer le théorème de convergence dominée afin de déterminer la limite suivante : $\lim_{n\to +\infty} \int_{]0;+\infty[} \frac{sin^n(x)}{x^2}d\lambda(x)$ , où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue.

C'est la partie domination qui me pose quelques problèmes.

Tout d'abord, on a, pour tout $x>0$ , on a $|\frac{sin^n(x)}{x^2}|\le \frac{1}{x^2}$ .
En effet, pour tout x réel, en particulier pour tout $x>0$ , $|sin(x)|\le 1$ , et par croissance de la fonction puissance n sur $]0;+\infty[$ , on obtient que $|sin(x)|^n\le 1$ , puis on divise par $x^2>0$ .

Maintenant, il faut que je justifie que $\int_{]0;+\infty[} \frac{1}{x^2}d\lambda(x)$ est finie. J'aurais tendance à dire que c'est vrai, car c'est vrai presque partout, sauf en $0$ .
Par contre, je n'arrive pas à m'en convaincre rigoureseusement, soit parce que c'est faux, soit parce qu'il me manque un argument.

Si ce que je raconte est faux, j'ai pensé à majorer $|\frac{sin^n(x)}{x^2}|$ sur un intervalle de la forme $]0;a]$ et un autre de la forme $[a;+\infty[$ afin de contourner le problème.

Voilà, c'est ce passage de la domination de ma fonction qui me pose quelques soucis.

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par re : Théorème de convergence dominée 19-11-22 à 09:00

Bonjour, 'j'aurais tendance à dire que c'est vrai" est faux.
Je découpe en ]0;a] et [a;+oo[ c'est ce qu'il faut faire.

Posté par re : Théorème de convergence dominée 19-11-22 à 09:32

Sin(x)^n = sin(x)^(n-2) * sin(x)^2

Posté par re : Théorème de convergence dominée 19-11-22 à 10:26

Bonjour, et merci pour vos réponses.

Jarod : je n'arrive pas à me convaincre que c'est faux. Qu'est-ce qui cloche ?

Lionel : oui, bon, je vais ce que je peux faire avec cette inégalité, merci

Posté par re : Théorème de convergence dominée 19-11-22 à 10:30

Ah mais oui lionel, du coup je peux dominer par $g(x)=\frac{sin^2(x)}{x^2}$ , dont l'intégrale sur $]0;+\infty[$ vaut $\frac{\pi}{2}$ !

Sinon, avec un découpage, je peux par exemple prendre $a=\frac{\pi}{2}$ .

Merci beaucoup !!