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théorème des gendarmes
Bonjour, j'ai un exercice sur lequel je ne suis pas sûr du résultat.
Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance.
Soit (𝑢n) la suite définie pour 𝑛 entier naturel non-nul par :
Un = 
((sin(2k))^k )/n^2
1) Déterminer un encadrement de Un pour tout 𝑛 entier naturel non-nul.
Pour l'instant j'ai essayé comme ça :
on sait que :
-1 < sin < 1
donc -1(2k) < (sin(2k)) < 1(2k)
donc -2k < (sin(2k)) < 2k
donc (-2k)^k < (sin(2k))^k < (2k)^k
donc (( (-2k)^k) / (n^2)) < (((sin(2k))^k) / (n^2)) < (((2k)^k) / (n^2))
après je bute pour la suite.
2) En déduire la limite de la suite (Un).
Bonjour,
-1 < sin < 1 OK
pour -1(2k) < (sin(2k)) < 1(2k) non mettez le signe et regarder la somme de 1 à n
Désolé, les sommes sont un point que je ne maitrise pas.
Si j'ai bien compris
j'ajoute sigma de chaque côté de l'inégalité?
et ensuite, je regarde de 1 à n, c'est-à-dire n+1 ?
phyelec78
Bonjour,
Dans , il faut diviser par n2 et mettre à le sinus à la puissance k, idem pour les autres parties de votre inégalité
Vous y êtes presque.
dans pourquoi mettez vous le 2k,
vous avez justement remarqué que -1 < sin(2k)<1 donc (-1)k< sin(2k)^k< (1)k
J'ai mis 2k de chaque côté car je l'avais mis aussi au sinus
2k+1 est une erreur de ma part car je pensais à Un+1 mais non.
donc -1 < sin(2k)<1
donc (-1)^k< sin(2k)^k< (1)^k
donc (-1)^k /(n^2) < sin(2k)^k / (n^2) < (1)^k /(n^2) ?
phyelec78
Ok pour l'inéquation et pour les bornes, k varie de 1 à n.
maintenant il va falloir se préoccuper des valeurs des sommes qui encadrent Un.
Avez-vous une idée?
D'accord
Ce n'est pas encore là qu'il faut voir la limite des sommes encadrant Un ?
Car à part ça je ne vois pas trop ce qu'on pourrait faire.
si voulez tout de suite passer à la limite ( c'est à dire quand n temps vers l'infini ) :
1) que vaut quand] temps vers l'infini
2)que vaut quand temps vers l'infini
Pour les limites elles seront de 0
Car-1^k
Et 1^k. Tendent vers 1 car k = 1
Et on divise par infini
Donc lim = 0 quand n tend vers +infini
Donc lim Un = 0
D'après le théorème des gendarmes
Sinon, il fallait faire quoi de plus à la question 1?
Bonjour,
la réponse est bonne, la limite est bien 0.
de mon point de vue:
1) pour vaut 0 quand n est pair et -1 quand n est impair , et donc pour le cas impair on a -1/n2 et le passage à la limite donne 0.
2) pour cela vaut n donc il reste 1/n et le passage à la limite donne 0.
On est donc d'accord.
Si vous rédigez l'exercice il faut expliquer avec le signe le
1) Car-1^k
et
2)Et 1^k. Tendent vers 1 car k = 1
Pouvez vous reformulez votre rédaction svp car je me suis un peu embrouillé dans la mise en ordre de l'exercice. Merci
Bonjour à tous les deux,
@phyelec78,
"UP" signifie que JaimeLesJokes a encore besoin d'aide et fait remonter son sujet dans les plus récents.
@JaimeLesJokes,
Dans ton énoncé, on ne voit pas les bornes du 
.
Pour écrire correctement les , je te conseille d'utiliser l'éditeur LaTeX de l'ile :
Il n'y a qu'à cliquer sur les menus et remplir (sans rien détruire !! 
)
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.
Une remarque :
La question 1) est très vague : "un encadrement".
Il y a mille encadrements possibles.
Certains permettent d'aboutir au 2), d'autres plus difficilement.
Attention, ceci est faux quand k est pair :
(-1)^k < sin(2k)^k < (1)^k
D'abord les inégalités sont à priori larges pour -1
sin(2k) 1.
Ensuite, si k est pair alors (-1)k = 1.
Je me permets donc de reprendre :
Au départ -1
sin(2k) 1.
Pour élever à la puissance k l'inégalité, on utilise la monotonie de la fonction "puissance k".
Mais elle n'est pas monotone sur
si k est pair !
On pourrait séparer les deux cas pair ou impair pour k, mais il est plus simple d'utiliser une valeur absolue.
-1
sin(2k) 1 
1
La fonction x
xk est croissante sur [0;+
[ ; donc 1k .
Donc
1 .
Donc
(sin(2k))k 1
Cet encadrement va permettre d'encadrer le
par deux suites dont les limites seront faciles.
Celles des messages d'hier après 23h ont des "passage à la limite" qui mériteraient d'être plus détaillés.
Bonjour, merci de la réponse.
Si je comprends bien, ce résultat est celui obtenu pour l'encadrement à la question 1)?
C'est-à-dire conclure par la phrase "D'après le théorème des gendarmes..."?
Sinon, comment doit-on ajouter
Merci
Pour 1) :
Pour obtenir un encadrement à partir de
-1
(sin(2k))k 1 :
Tu sommes de 1 à n ; tu transformes sans symbole à gauche et à droite.
Puis tu multiplies par (1/n2).
(-1)^k /(n^2) < sin(2k)^k / (n^2) < (1)^k /(n^2)
C'est ce que j'ai obtenu au départ en ajoutant de part et d'autre de l'inéquation.
Bonjour
@Sylvieg, vous avez raison, j'avais été un peu vite,je n'avais pas assez détaillé et mon explication n'étais pas assez limpide. Même si j'avais expliquer qu'il faillait prendre en compte si n était pair ou impair. Merci de l'avoir remarqué.
Je vous laisse poursuivre avec JaimeLesJokes.
Cordialement
Il n'y a pas d'inéquation dans cet exercice, mais des inégalités.
Je répète :
L'encadrement (-1)^k < sin(2k)^k < (1)^k
est faux quand k est pair.
Tu abandonnes donc ce qu'on pourrait obtenir à partir de là.
Tu pars de ceci qui est exact : -1
(sin(2k))k 1 .
Si tu ne comprends pas certaines de mes affirmations, précise lesquelles.
Quand on commence la question, on arrive directement à -1 <= (sin(2k))^k <= 1 ?
Si c'est ça, on divise ensuite par n^2 ?
C'est-à-dire :
(-1/(n^2)) <= ((sin(2k))^k/ (n^2)) <= (1/(n^2)) ?
Quand on commence la question, on arrive directement à -1 <= (sin(2k))^k <= 1 ?
Pour terminer la 1ère question :
Tu divise par n2, puis tu sommes de 1 à n.
Ou tu sommes de 1 à n, puis tu divises par n2.
Mais il faut savoir simplifier
@phyelec78,
Je n'avais pas vu votre message de 13h42.
Je répète que ceci est faux :
(-1)^k < sin(2k)^k < (1)^k
J'ai l'impression, JaimeLesJokes, que tu n'as pas bien assimilé le symbole .
Peux-tu écrire sous forme d'une somme de 3 termes ce qu'est u3 ?
Non, là tu écris n'importe quoi.
Va voir le "IV- Supplément : les symboles somme et 
produit" dans 
Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
Clique sur le lien et descend jusqu'au IV.
Bravo pour l'effort d'écriture.
u3 est la somme de 3 termes.
Tu remplaces k par 1 dans (sin(2k))k / n2 .
C'est le premier terme de la somme.
Tu remplaces k par 2 dans (sin(2k))k / n2 .
C'est le second terme de la somme.
Tu remplaces k par 3 dans (sin(2k))k / n2 .
C'est le troisième terme de la somme.
u3 = .... + .... + ....
Si tu ne comprends pas ça, tu ne peux pas avancer dans cet exercice.
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