Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Théorème des restes chinois

Posté par
matheux14
05-12-21 à 18:02

Bonsoir,

Merci d'avance.

Résoudre dans \Z le système suivant :

\begin{cases} x \equiv 1~[3]  \\\\ x \equiv 2~[11] \\\\ x \equiv 51~ [61] \end{cases}

Résolution

M = 3*11*61 = 2013

M1= 11*61 = 671 ;

M2 = 61*3 = 183 ;

M3 = 11*3 = 33

\begin{cases} \rho_1 \equiv 1~[3]  \\\\ \rho_1 \equiv 0~[671] \end{cases} \\\\\ \rho_1 = 1342 ; \begin{cases} \rho_2 \equiv 1~[11]  \\\\ \rho_2 \equiv 0~[183] \end{cases} \\\\\ \rho_2 = 1464 ; \begin{cases} \rho_3 \equiv 1~[61]  \\\\ \rho_3 \equiv 0~[671] \end{cases} \\\\\ \rho_3 = 1221

x = 1342*1 + 1464*2 + 1221*51 +2013 k = 66541+2013 k = 122 +2013 k ~;~ k\in \Z

\boxed{x= 122 + 2013k ~;~k \in \Z}

Pour trouver \rho_1 ; \rho_2 et \rho_3 j'ai utilisé la calculatrice en évaluant 1 à 1 les multiples des M1 ; M2 et M3 qui vérifient les 2èmes lignes des systèmes à deux inconnus (-congruence) ci-dessus.

Comme trouver \rho_1 ; \rho_2 et \rho_3 plus efficacement ; car pour le dernier système à deux inconnus (-congruence) je suis allé jusqu'à 33 * 37 pour trouver 1221 qui vérifie la 2ème congruence du système.

Posté par
matheux14
re : Théorème des restes chinois 05-12-21 à 18:04

Citation :
Pour trouver \rho_1 ; \rho_2 et \rho_3 j'ai utilisé la calculatrice en évaluant 1 à 1 les multiples des M1 ; M2 et M3 qui vérifient les 1 ères  lignes des systèmes à deux inconnus (-congruence) ci-dessus.

Comme trouver \rho_1 ; \rho_2 et \rho_3 plus efficacement ; car pour le dernier système à deux inconnus (-congruence) je suis allé jusqu'à 33 * 37 pour trouver 1221 qui vérifie la 1ère congruence du système.

Posté par
GBZM
re : Théorème des restes chinois 05-12-21 à 18:08

Bonsoir,

Tu peux procéder en deux étapes : traiter d'abord les deux congruences modulo 3 et modulo 11 pour avoir une congruence modulo 33. Puis , avec la congruence modulo 61, obtenir une congruence modulo 2013.
À chaque étape, utiliser une identité de Bézout, d'abord entre 3 et 11 puis entre 33 et 61

Posté par
GBZM
re : Théorème des restes chinois 05-12-21 à 18:21

Tu as fait une petite erreur de calcul. Un des chiffres de ton résultat n'est pas bon.
Une précaution : toujours vérifier que son résultat vérifie bien les congruences de départ.

Posté par
matheux14
re : Théorème des restes chinois 05-12-21 à 18:31

Oui c'est une erreur de frappe \boxed{x= 1{\red{1}}2 + 2013k ~;~k \in \Z}

Posté par
matheux14
re : Théorème des restes chinois 06-12-21 à 19:51

La solution des congruences modulo 3 et 11 est est le couple (u ; v) = (11k + 4 ; 3k +1)

Comment faire pour obtenir une congruence modulo 33 en utilisant cette solution ?

Posté par
GBZM
re : Théorème des restes chinois 06-12-21 à 21:11

Tu n'as pas vu comment résoudre ce système de congruences modulo 3 et 11 en utilisant l'identité de Bezout 4\times 3-11= 1 ? Tu es sûr que ce n'est pas dans ton cours ?

Posté par
carpediem
re : Théorème des restes chinois 06-12-21 à 21:33

salut

tu l'as fait ici : Théorème des restes chinois



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !