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Théorème des valeurs intermédiaires.

Posté par
Nijiro 25-10-20 à 11:04

Bonjour,

Soit f une fonction numérique continue sur [a;b].
Montrer qu'il existe au moins un réel c]a;b[tel que:
f(c)=\frac{1}{a-c}+\frac{1}{b-c}.

J'ai considéré la fonction: g(x)=f(x) -\frac{1}{a-x}-\frac{1}{b-x}. Celle-ci est continue sur ]a;b[.
Je ne peux pas calculé g(a) ni g(b) car a et b n'appartiennent pas au domaine de définition de g.

J'ai essayé de trouver un prolongement de g en a et en b, mais ça ne marche pas. J'ai essayé également de chercher deux éléments de ]a;b[ dont les images par g sont de signes opposés. Mais ça ne marche pas également .

Merci d'avance.

Posté par
LeHiboure : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 11:15

Bonjour,

Etudie la fonction x -> g(x) = 1/(a-x) + 1/(b-x) sur l'intervalle ]a;b[
Interesse-toi particulièrement au signe des branches infinies en a et en b.

Posté par
carpediemre : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 11:23

salut

en particulier tu peux regarder f(a + 1/n) et f(b - 1/n) ...

Posté par
LeHiboure : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 11:27

Nijiro, je te laisse avec carpediem
Bonne journée à tous les deux !

Posté par
carpediemre : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 11:34

LeHibou : je ne suis là qu'en alternance ... (je dois faire du ménage)

donc ne te gènes pas pour poursuivre ...

Posté par
Nijirore : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 12:32

Désolée si je vous empêche d'accomplir vos tâches quotidiennes.
Merci beaucoup pour la réponse.

LeHibou @ 25-10-2020 à 11:15


Etudie la fonction x -> g(x) = 1/(a-x) + 1/(b-x) sur l'intervalle ]a;b[
Interesse-toi particulièrement au signe des branches infinies en a et en b.


\lim_{x\rightarrow a^+} g(x)= \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{1}{a-x}+\frac{1}{b-x}=-\infty car:
\begin {cases} \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{1}{a-x}=-\infty \\ \lim_{x\rightarrow a^+}\frac{1}{b-x}=\frac{1}{b-a} \end{cases}

\lim_{x\rightarrow b^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow b^-}\frac{1}{a-x}+\frac{1}{b-x}= +\infty car :
\begin {cases} \lim_{x\rightarrow b^-}\frac{1}{b-x}= +\infty \\ \lim_{x\rightarrow b^-}\frac{1}{a-x}=\frac{1}{a-b} \end{cases}

Posté par
LeHiboure : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 12:41

C'est exact.
Maintenant, connais-tu un théorème qui dit qu'une fonction f continue sur [a;b] admet sur cet intervalle un minimum qu'on peut appeler m et un maximum qu'on peut appeler M ?

Posté par
Nijirore : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 12:48

carpediem @ 25-10-2020 à 11:23

salut
en particulier tu peux regarder f(a + 1/n) et f(b - 1/n) ...

Je ne peux pas déterminer le signe de g(a + 1/n) et de g(b - 1/n)..

Posté par
Nijirore : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 12:49

LeHibou @ 25-10-2020 à 12:41

C'est exact.
Maintenant, connais-tu un théorème qui dit qu'une fonction f continue sur [a;b] admet sur cet intervalle un minimum qu'on peut appeler m et un maximum qu'on peut appeler M ?

Oui, je le connais.

Posté par
LeHiboure : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 13:05

Parfait, alors on a tout ce qu'il nous faut.
Voilà le principe de la suite, ce sera à toi de la mettre en forme.
Conservons la notation g(x) = 1/(a-x) + 1/(b-x)
1) Avec la définition d'une limite infinie, montre que :
- il existe x0 ]a;b[ tel que g(x0) < m
- il existe x1 ]a;b[ tel que g(x1) > M
2) Considère la fonction F définie sur ]a;b[ par :
F(x) = f(x)-g(x)
Etudie les signes de F(x0) et F(x1)
Que peux-tu en déduire ?
(pense au titre du post...)

Posté par
Nijirore : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 13:17

f est continue sur [a,b], donc (m,M) f([a;b])2: mf(x)M avec: m=f() minimum de f sur [a;b] et M=f() maximum de f sur [a,b] ((;)[a;b]2).

Alors: m-g(x)f(x)-g(x)M-g(x).
Lorsque x tend vers a et x>a, g(x) tend vers -, alors -g(x) tend vers +.
Donc: \begin {cases} \lim_{x\rightarrow a^+}m-g(x)=+\infty \\ \lim_{x\rightarrow a^+}M-g(x)=+\infty \end {cases} \Rightarrow \lim_{x\rightarrow a^+} f(x)-g(x)=+\infty

Lorsque x tend vers b et x<b, g(x) tend vers +, alors -g(x) tends vers -.
Donc:\begin {cases} \lim_{x\rightarrow b^-}m-g(x)=-\infty \\ \lim_{x\rightarrow b^-}M-g(x)=-\infty \end {cases} \Rightarrow \lim_{x\rightarrow a^+} f(x)-g(x)=-\infty

Alors xf(x)-g(x) change de signe dans ]a;b[ . D'ailleurs elle est continue sur celui-ci ce qui permet d'appliquer T.V.I?

Posté par
Nijirore : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 13:18

Désolée, je n'ai pas vu votre message (messages croisés)..

Posté par
carpediemre : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 13:28

je conseille de prendre F(x) = g(x) - f(x) ... pour éviter certaines horreur/erreur ...

Posté par
LeHiboure : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 13:33

Oui, c'est exactement ça l'idée.
Pour le rédiger proprement, tu peux introduire les x0 et x1 de mon post de 13h05, et appliquer strictement le TVI sur [x0;x1]  où tu auras :
f(x0)-g(x0) > m-m = 0
f(x1)-g(x1) < M-M= 0

Posté par
Nijirore : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 13:41

J'ai compris. Merci infiniment!! ^-^

Posté par
LeHiboure : Théorème des valeurs intermédiaires. 25-10-20 à 13:44

Je t'en prie, c'était un plaisir !


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