pour le 1er sujet c'est assez bateau si on reste dans le programme de prépa

pour le 2 3 et 4 ça demandera obligatoirement d'utiliser la théorie des fonctions holomorphes qui est hors programme. C'est envisageable pour les ENS, mais il faudra que tu sois vraiment calé sur le sujet parce que si tu entres dans du gros hors-programme ils vont rien laisser passer. Pour le 4concours c'est complètement inenvisageable d'avoir une bonne note avec un sujet pareil. Cela dit si tu t'intéresses à la théorie des nombres j'imagine que tu vises une ENS.

Cela dit même pour les ENS, pas besoin de se lancer dans un sujet extravagant pour avoir une très bonne note. J'ai eu 19 à Ulm en TIPe sur la construction de R (bon, vers la fin ça partait dans des trucs un poil plus élaborés (quasi-endomorphismes de Z) mais ne demandant aucun concept dépassant la sup).

Il faut savoir que pour les ENS, rester dans le cadre du programme de TIPE est complètement optionnel, donc ne te tracasse pas avec ça.

Enfin, si tu veux tout de même faire quelque chose d'évolué en restant dans le programme (mouvement, mobilité), tu peux regarder la théorie du Transport Optimal. Il y a des formulations assez ("assez" à prendre dans le sens qu'on veut) du problème.

Bonjour karchi,

En fait Ulusse, tous les sujets (1,2,3 et 4) nécessitent un bagage non négligeable en théorie des fonctions holomorphes. Le 1 parce que les propriétés un tant soit peu poussées et intéressantes des fonctions arithmétiques entrecoupent directement la théorie des fonctions holomorphes. Quand on parle des propriétés de zeta (à part les formules qui la lient à toutes sortes de séries arithmétiques) on pense généralement au moins à son prolongement analytique.

Sinon je plussoie ce qu'a dit Ulusse, on ne pardonne pas le hors-programme et laisse moi te dire que la théorie des fonctions holomorphes (bien que facile et agréable) n'est pas non plus évidente à assimiler dans son coin. Je suis d'accord que c'est peut être l'un des seuls domaines qui te passionne pour le moment (parlant de la théorie analytique des nombres) mais il faut franchement avouer que ce n'est pas le sujet trivial par excellence.

Sinon en lisant le topic, j'ai essayé tant bien que mal de trouver un lien, et même mon imagination tordue n'a rien pu trouver d'abordable. A l'extrême rigueur (et c'est bien là le problème), il y a un lien plus ou moins évident entre le 4) et le thème du TIPE puisqu'avant tout, on remarque la ressemblance entre les matrices aléatoires qui décrivent le comportement des particules (et donc leur déplacements) et les états quantiques en l'associant au zéros de zeta (qui semblent avoir un lien de ressemblance assez marqué). C'est exactement le sens qu'a l'étude du chaos quantique dans la théorie des nombres. On peut commencer par considérer un problème sur le déplacement de boules de billard (modélisant donc les objets quantiques) en fonction de la forme de la table de billard, et on observer que certaines expressions intégrales ont l'air mystérieusement liées à d'autres expressions qui concernent la fonction zeta. Le problème est que cette étude (chaos quantique+théorie des nombres) fait intervenir de lourdes connaissances de L3 (entre autres fonctions holomorphes, probabilités et rudiments de théorie de la mesure) mais aussi des notions de M1 (dans les mêmes domaines mais en plus poussé). Et c'est un programme qui me parait vraiment ambitieux pour un TIPE (surtout sachant qu'on t'attendra au tournant à l'oral)!

Merci pour vos réponses.
Théorie des fonctions holomorphes... aïeyayaïe ce ne sera pas pour demain.

"tous les sujets (1,2,3 et 4) nécessitent un bagage non négligeable en théorie des fonctions holomorphes":
Je suis en train de lire An Introduction to the Theory of Numbers de Hardy & Wright, et dans les 2 chapitres sur les nombres premiers, ou encore sur les fonctions arithmétiques (que je n'ai pas encore lus, juste feuilletés) je vois plein de jolis résultats "élémentaires", sans analyse complexe. Je suppose que ces "formules qui la lient à toutes sortes de séries arithmétiques" sont "assez bateau si on reste dans le programme de prépa" (une citation de chacun de vous deux dans une même phrase), c'est ça ? Je pense que je vais laisser la fonction zeta de côté pour le moment alors.

Je suis tombé sur ce document : http://gifted.hkedcity.net./Gifted/Download/notes/phase3/advance/Forth%20and%20Fifth%20Lecture%202007-03-10%20Dirichlet%20Theorem%20from%20CJ%20Lam.pdf
Je l'ai un peu étudie (notamment la partie algébrique sur les caractères de Dirichlet, pas trop eu le courage d'approfondir dans la partie analytique), et apparemment y'a pas trop besoin de connaissances dépassant la prépa. Au fait ce sujet était mon 1er choix pour mon TIPE de spé, mais maintenant que j'y repense, une démo de 50 pages c'est dur pour un TIPE. Puis je vois pas trop le rapport avec mouvement et mobilité.

Je vais quand même me conformer au programme de l'année, au cas où (je vise surtout les ENS mais pas que). Merci Ulusse pour ta proposition de sujet, je vais me documenter un peu (même si j'avoue ne pas avoir été très attiré par ce sujet à 1ère vue, néanmoins j'apprécie vraiment le fait que tu m'aies proposé un sujet , d'ailleurs si vous en avez d'autres n'hésitez pas!). De mon côté je vais aussi faire quelques recherches.